1.4 线性空间之间的关系

在上一节中,我们主要探讨了线性空间与向量的关系.而在本节的内容里面我们将会探讨线性空间之间的关系. 我们开门见山, 引出本节的第一个重要定义:

定义 1.12

设 $V$ 为定义在数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, $W \subset V$ , , 且 $W \neq \varnothing$ . 如果对于任意的 $\vec w_1 , \vec w_2 \in W , \lambda \in \mathbb{F}$ , 满足

① $\vec w_1 + \vec w_2 \in W$ ;

② $\lambda \vec w_1 \in W$ .

我们称 $W$ 为线性空间 $V$ 的子空间 (Subspace), 记作 $W \subset V$ .

我们称子空间对于向量加法运算封闭 (Closed Under Vector Addition); 以及对于系数乘法运算封闭 (Closed Under Scalar Multiplication). 在实际应用中, 我们往往会采取如下的一步判别法: 即判断

\lambda \vec w_1 + \mu \vec w_2 \in W

即可.

定理 1.11

设 $V$ 为定义在数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, $W$ 为线性空间 $V$ 的子空间,则 $\vec 0_V \in W$ .

证明

我们只需取 $\lambda=0$ 原式便得证.

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例题 1.15

在线性空间 $\mathbb{P}_2(x)$ 中, $W = \lbrace f(x) \in \mathbb{P}_2(x) : f(1) = 1 \rbrace$ 是否为 $\mathbb{P}_2(x)$ 的一个子空间？

解答 1.15

设 $\beta=\{1,x,x^2\}$ 为 $\mathbb{P}_2(x)$ 的标准基底, 那么零向量 $\vec 0$ 代表的多项式即为 $g(x) = 0\cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 = 0.$ 然而我们发现 $g(1) = 0 \neq 1$ , 则因此 $\vec 0_{\mathbb{P}_2(x)} \notin W$ , 所以 $W$ 不构成子空间.

随后,我们回到矩阵本身,设 $\vec A$ 为 $m \times n$ 矩阵,我们知道可以用行向量和列向量对矩阵 $\vec A$ 进行表示,因此我们不妨设由列向量表示的矩阵 $\vec A$ 为 $\vec A_c = \begin{pmatrix} \vec v_1 & \cdots & \vec v_n \end{pmatrix}$ , 由行向量表示的矩阵 $\vec A$ 为 $\vec A_r = \begin{pmatrix} \vec u_1 \\ \vdots \\ \vec u_n \end{pmatrix}$ . 我们把 $m \times n$ 矩阵 $\vec A$ 中由全部列向量构成的线性组合记作 $\Span(\vec A_c)$ , 由全部行向量构成的线性组合记作 $\Span(\vec A_r)$ , 所以我们得到 $\Span(\vec A_c) \subset \mathbb{R}^m$ , $\Span(\vec A_r) \subset \mathbb{R}^n$ .这样一来,我们就建立了子空间和矩阵之间的联系.

定义 1.13

在 $m \times n$ 矩阵 $\vec A$ 中, 我们记 $\vec A$ 的列空间 (Column Space)为 $\Span(\vec A_c):=\text{Col}(\vec A)$ ; $\vec A$ 的行空间 (Row Space)为 $\Span(\vec A_r) := \text{Row}(\vec A)$ .

随后我们定义两个重要的向量空间: $m\times n$ 矩阵 $\vec A$ 的核空间 (Kernel Space)和像空间 (Image Space). 二者的定义可以类比函数中的零点和值域: 核空间为所有使得 $\vec A\vec x = \vec 0$ 的向量 $\vec x$ 所构成的集合, 根据矩阵和向量乘法的定义, 我们不难发现 $\vec x \in \mathbb{R}^n$ . 另一方面, $\vec A$ 的像空间便可以理解为 $\vec A\vec x$ 的所有可能取值, 我们也不难发现 $\vec y:= \vec A\vec x \in \mathbb{R}^m$ .

定义 1.14

设 $\vec A$ 为 $m\times n$ 矩阵.

① $\vec A$ 的核空间为 $\Ker(\vec A) := \{ \vec x \in \mathbb{R}^n : \vec A \vec x = \vec 0 \};$

② $\vec A$ 的像空间为 $\image(\vec A):=\{\vec y \in \mathbb{R}^m: \exists \vec x \in \mathbb{R}^n, \vec y = \vec A\vec x \}.$

定理 1.12

$\Ker(\vec A)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的子空间; $\image(\vec A)$ 为 $\mathbb{R}^m$ 的子空间.

证明

设 $\vec x_1, \vec x_2 \in \Ker(\vec A)$ , 常数 $c \in\mathbb{R}$ . 那么 $\vec A\vec x_1=\vec 0, \vec A\vec x_2 = \vec 0$ . 因此根据矩阵与向量的运算法则, $\vec A(c\vec x_1+\vec x_2) = c \vec A\vec x_1+\vec A\vec x_2 = \vec 0.$ 则 $\Ker(\vec A) \subset \mathbb{R}^n$ . 另一方面, 由于 $\vec y_1, \vec y_2 \in \image(\vec A)$ , 因此存在 $\vec z_1,\vec z_2 \in \mathbb{R}^n$ 使得 $\vec y_1 = \vec A\vec z_1; \vec y_2 = \vec A\vec z_2$ , 那么对于常数 $c\in\mathbb{R}$ , $c\vec y_1+\vec y_2 = \vec A(c\vec z_1 + \vec z_2)$ . 则 $\image(\vec A) \subset \mathbb{R}^m$ .

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例题 1.16

设矩阵 $\vec A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ , 据此分别求出 $\Ker({\vec A}), \image({\vec A})$ 的一组基底.

解答 1.16

我们先求出 $\image(\vec A)$ 的一组基底:

首先根据定义,我们知道 $\image({\vec A}) = \text{Col}(\vec A) = \Span \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$ , 我们因此得出 $\image({\vec A})$ 为 $4$ 个向量的线性组合. 由于我们知道 $\image({\vec A}) \subset \mathbb{R}^3$ , 因此构成 $\image({\vec A})$ 的基底中向量个数的最大值为 $3$ , 所以 $\vec A$ 的列向量彼此线性相关. 我们因此需要删去 $4$ 个列向量中多余的向量.我们此时可以从第一个向量开始依次选择,首先 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ 自身线性无关, 随后我们考虑集合 $\beta = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$ , 不难验证该集合同样线性无关, 因此我们再选取集合 $\gamma = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ , 通过求解线性方程组的知识我们也不难求出该集合彼此线性无关. 此时线性无关向量的个数已经达到了其基底中向量的最大个数,所以我们据此构造出的集合 $\gamma$ 便是 $\image({\vec A})$ 的一组基底.

我们随后求解 $\Ker(\vec A)$ 的一组基底: 此时,不难发现我们只需要求解线性方程组 $\vec A\vec x = \vec 0$ , 因此利用我们已经掌握的很熟练的线性方程组的相关知识,不难写出形如下式的矩阵

\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right).

对该矩阵进行高斯消元,不难得到其行最简形式为

\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{11} & 0 \end{array}\right).

根据求解线性方程组的知识,我们此时有 $3$ 个前导变量, $1$ 个滞后变量, 我们选取第四列对应的未知数作为参数 $s$ , 得到其解集为 $s\begin{pmatrix} -\frac{3}{11} \\ -\frac{5}{11} \\ \frac{7}{11} \\ 1 \end{pmatrix} : s \in \mathbb{R}$ , 那么 $\Ker(\vec A)$ 的一组基底即为 $\begin{pmatrix} -\frac{3}{11} \\ -\frac{5}{11} \\ \frac{7}{11} \\ 1 \end{pmatrix}$ .

通过这道题,我们有什么发现？我们知道对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $\vec A$ 而言, $\dim(\image(\vec A))$ 即为矩阵中彼此线性无关的列向量的最大数量, 这一就意味着根据定义, $\dim(\image(\vec A)) = \rank(\vec A)$ .在第一节里面,我定义矩阵的秩等于其行最简形矩阵中“前导变量”的数量, 因此像空间的维数也就等于前导变量的数量. 我们都知道,在行最简形矩阵中,一共只有前导变量和滞后变量两种,其数目之和等于矩阵的列数 $n$ , 而从我们对刚才题目的求解看出,矩阵 $\vec A$ 的零空间又恰好是这些滞后变量的线性组合,这些向量彼此线性无关.也就是说滞后变量的数量也恰好是零空间的维数.至此,我们得出了一个线性代数中重要的定理之一——秩零定理 (Rank - Nullity Theorem).

定理 1.13

对任意的 $m \times n$ 矩阵 $\vec A$ 而言, $\dim(\Ker({\vec A})) + \dim(\image({\vec A})) = n$

证明

参见上文.

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例题 1.17

设 $m \times n$ 矩阵 $\vec A$ 满足 $\Ker({\vec A}) = \image({\vec A})$ , 那么 $n$ 的取值能否为 $114514$ ？能否为 $191981$ ?

解答 1.17

我们此时注意到 $n$ 的数目很大,并且 $m$ 不确定,因此不太可能去列线性方程组从而求解.因此我们直接使用秩零定理:由题意得 $\dim(\Ker(\vec A)) = \dim(\image(\vec A))$ , 那么 $\dim(\Ker({\vec A})) + \dim(\image({\vec A})) = 2\dim(\Ker({\vec A})) = 2 \dim(\image({\vec A})) = n$ , 由于线性空间的维数只能为整数,所以 $n$ 必为偶数,因此 $n$ 可以取 $114514$ ,不能取 $191981$ . 至于怎么去实打实地找到满足 $\Ker({\vec A}) = \image({\vec A})$ 的矩阵 $\vec A$ , 学有余力的读者可以自行尝试.

定义 1.15

对于 $m \times n$ 矩阵 $\vec A$ 而言,我们定义 $\vec A$ 的转置矩阵 (Transpose Matrix) 为一个 $n \times m$ 矩阵, 通常记作 $\vec A^\top$ , 使得 $(\vec A)_{ij} = (\vec A^\top)_{ji}$

有了转置矩阵的概念之后,我们就再一次地建立起了列向量和行向量之间的联系.根据矩阵转置的定义,如果我们设 $\vec A = \begin{pmatrix} \vec v_1 & \cdots & \vec v_n \end{pmatrix}$ , 那么 $\vec A^\top = \begin{pmatrix} \vec v_1^\top \\ \vdots \\ \vec v_n^\top \end{pmatrix}$ , 根据行秩和列秩相等这一定理, 我们也知道矩阵的秩等于其转置矩阵的秩.

在本节的后半部分,我们将会研究不同线性空间之间的关系,准确来说我们会研究在给定的线性空间中,其子空间之间的联系.我们都知道对于集合而言,我们可以定义集合之间的交集与并集,那么对于线性空间而言,我们同样可以定义线性空间的交集与并集.

定义 1.16

设 $U,V$ 均为某线性空间(通常为 $\mathbb{R}^n$ )的子空间,我们定义线性空间 $U,V$ 的交集为 $U \cap V$ ; 并集为 $U \cup V$ .设 $\vec w \in U \cap V$ , 则 $\vec w \in U$ 且 $\vec w \in V$ ; 若 $\vec w\in U \cup V$ , 则 $\vec w \in U$ 或 $\vec w \in V$ .

此时,我们自然而然会想 $U \cap V ; U \cup V$ 是否也为线性空间呢？在往下阅读我所给出的定理之前,读者不妨自行思考片刻,如果可能,尝试自己写出 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 的两个子空间, 然后通过计算来判断.

定理 1.14

设 $U,V$ 均为某线性空间的子空间, 则:

(i) $U \cap V$ 为线性空间;

(ii) $U \cup V$ 为线性空间的充要条件为 $U \subset V$ 或 $V \subset U$ .

证明

我们先证明 $U \cap V$ 为线性空间: 设 $\vec x, \vec y \in U \cap V , c \in \mathbb{F}$ , 则 $\vec x + \vec y \in U$ 且 $\vec x + \vec y \in V$ , 即 $\vec x + \vec y \in U \cap V$ ; $c \vec x \in U$ 且 $c \vec x \in V$ , 即 $c\vec x \in U \cap V$ , 因此 $U \cap V$ 为线性空间. 随后我们再证 $U \cup V$ 为线性空间的充要条件为 $U \subset V$ 或 $V \subset U$ , 此时由于涉及到充要条件的证明,我们需要从前后两个方向进行证明.即:

( $\Longrightarrow$ ) 假设 $U \cup V$ 为线性空间,则需证明 $U \subset V$ 或 $V \subset U$ .此时我们可以使用反证法,即假设 $U \subsetneq V$ 且 $V \subsetneq U$ , 此时即存在 $\vec u \in U, \vec u \notin V$ 且 $\vec v \in V , \vec v \notin U$ .由于 $U \cup V$ 为线性空间,且 $\vec u \in U \cup V ; \vec v \in U \cup V$ , 则 $\vec u + \vec v \in U \cup V$ . 那么 $(\vec u+\vec v) - \vec u \in U$ , 即 $\vec v \in U$ , 矛盾. 同理可证明 $\vec u = (\vec u+\vec v) - \vec v \in V$ , 矛盾.

( $\Longleftarrow$ ) 假设 $U \subset V$ 或 $V \subset U$ ,则需证明 $U \cup V$ 为线性空间.由于 $U,V$ 本身即为线性空间,当 $U \subset V$ 时 $U \cup V = V$ ; 当 $V \subset U$ 时, $U \subset V = U$ ,所以此时 $U \cup V$ 即为线性空间.因此, $U \cup V$ 为线性空间的充要条件为 $U \subset V$ 或 $V \subset U$ 得证.

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那么对于线性空间而言,有没有类似于实数之间的加法,乘法运算呢？答案是有的,只不过线性空间之间的加法和乘法运算法则与实数有所不同,我们先从定义较为简单的乘法运算说起.线性空间 $U,V$ 的乘法运算也被称作是线性空间的笛卡尔积 (Cartesian Product), 通常记作 $U \times V$ , 其定义如下:

定义 1.17

设 $U,V$ 为线性空间,我们定义线性空间 $U,V$ 的笛卡尔积 $U \times V$ 为:

U \times V = \lbrace (\vec u , \vec v) : \vec u \in U , \vec v \in V \rbrace.

不难发现,笛卡尔积的结果其实是一个“坐标”,其中坐标里的元素分别对应两个线性空间里面的元素,这也是为什么在平面直角坐标系 $xOy$ 中任意一点 $(x,y)$ 有横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ .我们称平面直角坐标系为 $\mathbb{R}^2$ ,本质上就是笛卡尔积 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 的结果.同理我们还知道 $\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ , 也就是为什么空间直角坐标系中的点分别对应了 $x,y,z$ 三个坐标.那么我们也不难发现,对于两个线性空间而言,其笛卡尔积同样为线性空间.

定理 1.15

设 $U,V$ 均为线性空间,则 $U \times V$ 同样为线性空间.

我们同时也可以定义线性空间之间的加法运算:

定义 1.18

设 $U,V$ 为线性空间,我们定义线性空间 $U,V$ 的和 $U + V$ 为

U + V = \lbrace \vec u + \vec v : \vec u \in U , \vec v \in V \rbrace.

也就是说, $U+V$ 中的任何一个向量均为 $U$ 中的一个向量 $\vec u$ 与 $V$ 中的一个向量 $\vec v$ 的加和.在平面直角坐标系内,如果我们把 $U$ 当作 $x$ 轴,即 $U = \Span \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$ ,如果我们把 $V$ 当作 $y$ 轴,即 $V = \Span \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ , 那么 $U + V$ 即为 $\mathbb{R}^2$ . 或者我们也可以令 $U = \mathbb{R}^2, V = \lbrace \vec 0 \rbrace$ , 也能够产生同样的效果.我们由此发现,对于一个向量空间而言,其可以表示为数个子空间的加和. 我们其中会重点研究一种特殊的加和:直和 (Direct Sum). 其定义如下

定义 1.19

设 $U,V$ 为线性空间 $W$ 的子空间, 若 $\hspace{0.1cm} W = U + V$ 且 $U \cap V = \lbrace \vec 0 \rbrace,$ 我们称 $W$ 为 $U,V$ 的直和, 记作 $W = U \bigoplus V$ .

我们不难发现,如果 $W = U \bigoplus V$ , 那么 $U,V$ 的交集有且只有零向量,这一就意味着这两个线性空间彼此之间没有太多的关联,我们也可以称 $U$ 和 $V$ 线性无关.此时我们不妨再回到基底的概念,此时我们又引出了一条重要的定理:

定理 1.16

设线性空间 $U,V,W$ 满足 $W = U \bigoplus V$ , 设 $\beta_1$ 为 $U$ 的一组基底, $\beta_2$ 为 $V$ 的一组基底,则 $\beta_1 \cup \beta_2$ 为 $W$ 的一组基底.

证明

由直和的性质,我们已经知道 $W = \Span(\beta_1 \cup \beta_2)$ , 因此我们只需证明 $\beta_1 \cup \beta_2$ 线性无关.不妨设 $\beta_1 = \lbrace \vec v_1 , \cdots , \vec v_m \rbrace$ ; $\beta_2 = \lbrace v_{m+1} , \cdots, \vec v_n \rbrace$ , 我们考虑线性组合 $(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_m \vec v_m) + (c_{m+1} \vec v_{m+1} + \cdots + c_n \vec v_n) = 0$ , 其中令 $\vec x = (c_1 \vec v_1 + \cdots + c_m \vec v_m)$ , $\vec y = (c_{m+1} \vec v_{m+1} + \cdots + c_n \vec v_n)$ , 根据直和的性质,我们再一次知道 $\vec x + \vec y = \vec 0$ 当且仅当 $\vec x =\vec y = \vec 0$ , 即 $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$ . 因此 $\beta_1 \cup \beta_2$ 为 $W$ 的一组基底.

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至此,第一章的全部内容到此结束.我们在第一章中主要学习了线性方程组与矩阵和向量之间的关系和运算,那么在下一章——《作用于线性空间之间的变换》中,我们会重点研究线性变换,从宏观的角度重新审视第一章所学的内容.

{1.4 练习}

1. 设矩阵 $\vec P = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ , 分别求出 $\Ker(\vec P), \image(\vec P)$ 的一组基底.

2. 在线性空间 $\mathbb{P}_3(x)$ 中, 已知 $W = \lbrace f(x) \in \mathbb{P}_3(x) : f'(1) + f(1) = 0 \rbrace$ , 证明 $W$ 为 $P_3(x)$ 的子空间, 并分别求出 $\Ker(W), \image(W)$ 的一组基底.