1.2 向量组之间的关系

在上一节中,我们提出了形如$\vec A \vec x = \vec b$的式子,那么从这一节开始,我们将从更加抽象的角度去理解这样一个式子所代表的意义.我们曾提出过如下的运算法则:

设存在$m \times n$矩阵$\vec A$和$k \times 1$向量$\vec x$,当且仅当$k=n$时,乘法$\vec A\vec x$有意义,其结果为$m \times 1$向量. 我们不妨设 $$\vec A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n} \\ & &\vdots&\vdots& \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} , \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix},$$ 且$\vec A\vec x = \vec b$, 那么 $$\begin{aligned} \vec A \vec x = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n} \\ & &\vdots&\vdots& \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} &= x_1 \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + x_2 \cdot \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + x_n \cdot \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} \\ & \\ &= \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

我们可以发现,在上述的表达式中矩阵$\vec A$的每一列都可以当作一个向量看待,我们将这些向量称作列向量 (Column Vector), 这样一来,我们就有了一种全新的书写矩阵的方式. 我们可以把矩阵写成是由若干列向量所构成的形式,即$\vec A = \begin{pmatrix}\vec v_1 & \vec v_2 & \cdots & \vec v_n\end{pmatrix}$. 这样一来,我们可以将$\vec A \vec x$ 书写成 $x_1 \vec v_1 + x_2 \vec v_2 + \cdots + x_n \vec v_n$. 我们由此便可以引入本节的第一个重要定义:

根据这个定义,我们知道在上一页所展示的运算法则中, $\vec b$则为矩阵$\vec A$中列向量所构成的线性组合.我们通过观察线性组合的定义,很容易将其与线性方程组的解所联系起来,这种联系便是一个重要的定理:

我们通过一个三元一次方程组的例子来加深我们对定理$1.4$的理解 : 假设一个三元一次方程组的解集为

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} : s,t \in \mathbb{R},$$

那么我们知道,这个解集代表一个经过原点的平面,平面上的点即为所有满足条件的解.因此,这个三元一次方程组其实完全可以简化成一个方程,那就是表示该平面的方程.不难求出这个平面所表示的方程为$x - y + z = 0$.根据定理$1.4$,我们知道该方程有解的充要条件是$\vec b \in \Span \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \right)$, 也就是说任何在该平面以外的点都不是原方程组的解. 我们取在平面以外的点$\vec u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, 将其带入方程$x-y+z = 0$发现$2-1+1 = 2\neq0$, 即原方程组无解. 如果我们取平面以内的任意点$\begin{pmatrix} s + t \\ t \\ -s \end{pmatrix} : s,t \in \mathbb{R}$ 将其带入方程 $x-y+z = 0$,则发现$(s+t) - t - s = 0$成立.

我们也可以通过一个生活中的例子来理解线性组合,在美术学中我们经常把红色,黄色和蓝色称作是色彩的三原色.我们可以将这三种颜色通过一定比例的混合从而得到其他的颜色.比如绿色可以由一份蓝色和一份黄色通过均匀混合得到. 因此我们可以说绿色是由红色,蓝色和黄色三种颜色组成的一个‘线性组合’. 之所以将红色,黄色和蓝色称作是三原色,是因为其中的任意一种颜色都不能由另外两种颜色混合而得到,所以我们也可以说蓝色不是由红色和黄色两种颜色组成的一个线性组合. 一种很常见的题目便是给出向量$\vec v_1, \vec v_2, \cdots \vec v_n$,然后我们需判断另一个向量$\vec u$是否为这几个向量的一个线性组合. 这种题型往往可以参照线性方程组的解法, 写成矩阵的形式 $\left(\begin{array}{cccc|c} \vec v_1 & \vec v_2 & \cdots & \vec v_n & \vec u \end{array}\right)$, 然后运用Gauss消元法进行求解. 如果该方程组无解,那么$\vec u$则不是$\vec v_1, \cdots , \vec v_n$所组成的一个线性组合; 如果有解,那么$\vec u$则是$\vec v_1, \cdots , \vec v_n$所组成的一个线性组合.

我们不妨再看一个例子:

在上面的两个例子中, 为什么在$\vec u$相同的情况下,第一个例子无法构成线性组合,而第二个例子却可以构成线性组合呢? 我们自然而然地想到可能和$\vec v_1,\vec v_2 ,\vec v_3$的选取有关.但是它们之间到底有着怎么样的关系? 我们又该如何更加快速地判断线性组合地存在与否呢? 那么接下来我会提出一个截止目前最为重要的一个定义:

当我们了解这个定义之后,再回看例上面的例子: 我们先判断例题$1.7$中$\vec v_1, \vec v_2 , \vec v_3$彼此是否线性无关. 为了解决这个问题,我们自然要考虑下列方程组的解:

$$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

然后,我们可以自然而然地把上述式子写成形如下式的一个矩阵中:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right),$$

经过高斯消元,我们得到其行最简形矩阵为

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

那么我们可以得到原方程组的解为$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} : s \in \mathbb{R}$. 因此我们看到原方程组的解集是一条经过原点的直线, 且直线上所有的点都是满足条件的解. 这与线性无关的概念不符: 在线性无关中我们要求唯一解必须是$c_1 = c_2 = c_3 = 0$, 但显然在此我们有无穷多组非零解, 因此$\vec v_1, \vec v_2 , \vec v_3$线性相关. 而在例题$1.8$中, 我们可以验证向量组$\vec u_1, \vec u_2, \vec u_3$ 线性无关. 到了这里,我们能否说如果这些向量彼此线性无关,就一定能构成另外一个向量的线性组合; 如果这些向量彼此线性相关, 就一定不能构成另一个向量的线性组合呢? 非也. 这些奥秘我们会在下一节的内容中进行详细地探索, 读者到时候便会豁然开朗.

回到例题$1.7$, 我们已经发现$\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$彼此线性相关, 那么我们假设存在如下的线性组合:

$$c_1\vec v_1 + c_2 \vec v_2 + c_3 \vec v_3 = \vec 0, \tag{1.3}$$

通过移项便可以得到 $c_1 \vec v_1 = -c_2 \vec v_2 - c_3 \vec v_3.$

因为我们知道原方程有无穷多组解, 那么我们可以选取满足$c_1 \neq 0$ 的一组解. 于是我们等式两边同时除以$c_1$,可以得到

$$\vec v_1 = -\frac{c_2}{c_1} \vec v_2 - \frac{c_3}{c_1} \vec v_3.$$

根据定义, 我们便可以推出$\vec v_1 \in \Span (\vec v_2 , \vec v_3)$. 随后在(1.3)中我们同样可以把$\vec v_2, \vec v_3$移到等式一侧, 然后任意取一组使得$c_2,c_3$不为零的解,同样可以得到 $\vec v_2 \in \Span(\vec v_1, \vec v_3)$ ; $\vec v_3 \in \Span \left(\vec v_2 , \vec v_1 \right)$.

值得注意的是, 在例题$1.8$中由于$\vec v_1, \vec v_2 ,\vec v_3$彼此线性无关,因此线性组合$c_1 \vec v_1 + c_2 \vec v_2 + c_3 \vec v_3 = 0$的唯一解是$c_1 = c_2 = c_3 = 0$, 所以我们没有办法作上述式子里面的变形. 运用线性组合和方程组的解的关系,我们可以得到$v_1 \notin \Span(\vec v_2, \vec v_3)$; $\vec v_2 \notin \Span(\vec v_1, \vec v_3)$ ; $\vec v_3 \notin \Span(\vec v_1 , \vec v_2)$.

这个定理的证明在上面就有所涉及,只不过上一页中我着重讨论了只有三个向量的情况. 我们发现如果向量$\vec v_1, \vec v_2 , \vec v_3$彼此线性相关, 这便意味着其中一个或多个向量都是剩下两个向量构成的线性组合. 这也告诉我们这三个向量所表达的内容和删去一个特定向量之后所剩的两个向量所表达的内容相同.

其实我们也可以把矩阵$\vec A$中的每一行当成一个行向量 (Row Vectors), 这样一来矩阵也可以记作

$$\vec A = \begin{pmatrix} - -& \vec v_1 & --\\ & \vdots & \\ -- & \vec v_n & -- \end{pmatrix}.$$

正是因为有这两种不同的表达方式, 当我们在谈论矩阵中的向量时一定要说明是行向量还是列向量.我们回想矩阵的秩的定义, 在上一节里面我们只给出了一个笼统的定义, 那么现在我们可以用本节的知识来重新定义矩阵的秩: 矩阵的秩为该矩阵中线性无关的列向量的最大数目, 这也被称作是矩阵的列秩 (Column Rank). 我们可以类比这个定义再给出一个行秩 (Row Rank)的定义: 我们定义矩阵的行秩等于该矩阵中线性无关的行向量的最大数目.

所以通常我们直接用矩阵的秩来泛指行秩与列秩.

随后, 我们还想再研究一种特殊的方程组, 即$\vec A \vec x = \vec 0$. 形如这样的方程组我们将其称作线性齐次方程组 (Linear Homogeneous System). 那么很显然, $\vec x = \vec 0$ 为该方程组的一个解.我们称其为平凡解 (Trivial Solution), 其余的解我们称之为非平凡解(Non-trivial Solution).

{1.2 练习}

1. (单项选择题) 假设向量组$\vec x,\vec y,\vec z$线性无关,则下列选项中线性无关的向量组为

$$\begin{aligned} &(\text{A})\vec x, \vec x - \vec y, \vec x - \vec y - \vec z & &(\text{B})\vec {x+y}, \vec {y+z}, \vec {x+z}\\ &(\text{C})\vec{x-y}, \vec{y-z}, \vec{z-x} & &(\text{D})\vec{x} + \vec{y}, \vec{y} - \vec{z} , \vec x + 2\vec z \end{aligned}$$

2. 给出向量$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, 试写出任意一个向量$\vec{v_3}$, 使得$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$线性无关.

3. 证明$1;1+x;1+x+x^2;1+x+x^2+x^3;\cdots;1+x+\cdots+x^n$彼此线性无关.