1.3 线性空间和向量组之间的关系

在上一节中,我们重点学习了向量组之间的关系,也就由此引出了这样的一个话题:向量从哪里来?我们知道在平面向量的知识中,向量代表平面直角坐标系内的一条有向线段, 因此平面向量的载体便是平面直角坐标系,我们也把平面直角坐标系所构成的全部区域称为是一个线性空间 (又称作向量空间 (Vector Space)). 我们可以把线性空间理解为满足一定条件的向量所构成的集合. 那么这些向量之间要满足什么条件呢?

定义 1.8

设 $V$ 为由向量构成的集合, $\mathbb{F}$ 为数域(目前阶段我们默认 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ ). 如果对于任意的 $\vec u, \vec v,\vec w\in V ; a , b \in \mathbb{F}$ ,有

\begin{aligned} &\text{(A1) } \vec u+\vec v = \vec v+ \vec u & &\text{(A2) } (\vec u+\vec v)+\vec w = \vec u+ (\vec v+\vec w)\\ &\text{(A3) } \vec 0 \in V, \text{使得对任意的} \vec v\in V \text{, } \vec 0+\vec v = \vec v & &\text{(A4) } \vec v + (-\vec v) = \vec 0\\ &\text{(M1) } \vec v \cdot 1 = 1 \cdot \vec v = \vec v & &\text{(M2) } (ab)\vec v = a(b\vec v)\\ &\text{(M3) } a(\vec u+\vec v) = a\vec u+a\vec v & &\text{(M4) } (a+b)\vec v=a\vec v+ b\vec v \end{aligned}

我们则称 $V$ 是在数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间.

其中 $A1-A4; M1-M4$ 便是判断 $V$ 是否为线性空间的“八大条”. 其中我们对(A3)稍作强调: $\vec 0$ 为 $V$ 中的零向量, 我们通常记作 $\vec 0_V$ . 我们会在本书中重点研究两到三种线性空间 (这些线性空间的数域目前统一确定为 $\mathbb{R}$ ).

第一种是线性空间 $\mathbb{R}^n$ , 该线性空间代表了全部 $n$ 维向量所构成的集合,比如 $\begin{pmatrix} 1 \\0 \\3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 ; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$ 等.
第二种是线性空间 $\mathbb{P}_n(x)$ , 即为全部不超过次数 $n$ 的多项式所构成的集合, 比如 $x^2 - 3x + 4 \in \mathbb{P}_2(x)$ , $x^5 + x^2 + 2 \in \mathbb{P}_5(x)$ 等.
第三种是线性空间 $M_{mn}$ , 即为全部 $m \times n$ 矩阵所构成的集合,比如 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \in M_{23}$ 等.

读者如果感兴趣可以利用定义中的四条性质来自行验证为什么 $\mathbb{R}^n, \mathbb{P}_n(x), M_{mn}$ 满足定义在实数域上的线性空间. 通过上面的例子,我们发现线性空间里面的元素无穷无尽. 那么对于给定的线性空间, 我们如何才能更好地研究其性质呢? 我们知道线性空间中既然有这么多的向量,那么一定会有一些线性相关的元素存在吧?比如在 $\mathbb{P}_2(x)$ 中,我们知道 $x^2 + 2x + 1$ 与 $2x^2 + 4x + 2$ 彼此线性相关.如同这样的例子不胜枚举,那么我们是否可以进一步地“压缩”线性空间里面的向量个数,使得线性空间的结构可以大幅简化呢?

定义 1.9

设 $V$ 为定义在数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, $\vec v_1,\cdots,\vec v_n \in V$ . 我们称集合 $\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2, \cdots, \vec v_n \rbrace$ 为线性空间 $V$ 的一组基底 (Basis)当且仅当:

① $\beta$ 中的向量彼此线性无关;

② 对任意的 $\vec u \in V$ , 存在 $c_1,\cdots,c_n \in \mathbb{F}$ , 使得 $\vec u = c_1\vec v_1+\cdots+c_n\vec v_n$ .

我们可以简单地从“不多不少”这两个角度来理解线性空间的基底,“不多”对应着定义中的第一条,意味着没有“多余”的向量,每一个向量都起到了至关重要的作用;“不少”对应着定义中的第二条,意味着线性空间的完整性要得到保障,使得这些向量可以没有遗漏地将每一个线性空间中的向量表示出来.在有了基底的定义之后,我们便能够定义线性空间的维数:

定义 1.10

设 $V$ 为定义在数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,集合 $\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2, \cdots, \vec v_n \rbrace$ 为线性空间 $V$ 的一组基底. 那么线性空间 $V$ 的维数 (Dimension) 为集合 $\beta$ 中元素的个数,记作 $\dim(V) = \vert \beta \vert$ .

可以证明,有限维线性空间中任意两组基底所含向量个数相同,因此维数的定义不依赖于基底的选取. 另外, 在本书中我们默认所有的线性空间维数均是有限维的. 特别地, 我们定义零向量的维数为零: $\dim(\lbrace \vec 0 \rbrace) = 0$ . 通过定义 $1.10$ , 我们也能够发现 $\dim(\mathbb{R}^n)=n$ , $\dim(\mathbb{P}_n (x)) = n + 1$ .

定理 1.9

设 $\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_n \rbrace$ 为线性空间 $V$ 的一个子集,若 $\beta$ 线性无关,且 $\dim(V) = \vert \beta \vert$ , 则 $\beta$ 为 $V$ 的一组基.

例题 1.11

在 $\mathbb{R}^3$ 中, 给出 $\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ; \vec v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , 判断 $\beta= \lbrace \vec v_1, \vec v_2 , \vec v_3 \rbrace$ 是否构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组基.

解答 1.11

判断是否为基底,我们一定要把是否线性无关放在第一位,那么根据定义,我们只需要看线性齐次方程组 $c_1 \vec v_1 + c_2 \vec v_2 + c_3 \vec v_3 = 0$ 的唯一解是否为 $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ .我们通过研究矩阵 $\left(\begin{array}{ccc|c} \vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3 & \vec 0 \end{array}\right)$ , 经Gauss消元后得到的其行最简形矩阵为

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right).

显然该线性齐次方程组存在唯一平凡解 $c_1=c_2=c_3=0$ , 因此 $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ 线性无关.又因为 $\vert \beta \vert = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$ , 我们可以直接得出 $\beta$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基.

对于线性空间 $V$ 一个线性无关的子集 $\beta$ , 在有 $\dim(V) = \vert \beta \vert$ 的情况下,为了确认是否为一组基底,我们可以通过判断线性无关从而直接确定, 由此省去了验证线性组合.当我们知道 $\beta$ 为线性空间 $V$ 的一组基底之后,根据性质我们也知道 $V$ 中任意一个向量都是 $\beta$ 的一个线性组合.我们此时便想知道这个线性组合究竟有着什么样的性质?在此情况下一个向量有且仅有有一种线性组合吗?有没有无穷多组满足条件的线性组合?如果我们选择 $V$ 的另外一组基底 $\gamma$ ,这个线性组合又有着什么样的性质?让我们通过几条定理,来一一回答上述这些问题.

定义 1.11

设 $\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_n \rbrace$ 为线性空间 $V$ 的一组基底,那么对于任意的 $\vec u \in V$ , 有且仅有唯一的一组解 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ ,使得

\vec u = c_1 \vec v_1 + c_2 \vec v_2 + \cdots + c_n \vec v_n.

我们称实数对 $(c_1,c_2,\cdots, c_n)$ 为向量 $\vec u$ 在基底 $\beta$ 下的坐标 (Coordinates), 通常写作

[\vec u]_{\beta} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}_{\beta}.

在给定的基底中, 向量在该基底里面有且仅有一种分解方式; 并且向量的坐标和基底的选取密切相关.在不同的基底下,向量的坐标也会发生变化.所以我们从现在开始要格外注意基底的强调.在本书中如果没有特殊说明或者要求的话,所有向量的坐标均默认为在标准基底下的分解, 我们定义 $\mathbb{R}^n$ 的标准基底为:

E= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} ; \cdots ; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \right\}.

通常我们也使用 $E = \lbrace \vec e_1 , \vec e_2 , \cdots , \vec e_n \rbrace$ 来代指标准基底,其中 $\vec e_i$ 的第 $i$ 个元素为 $1$ ,其余元素均为 $0$ .我们之前见到的形如 $\vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ 的向量其实就是在标准基底 $\mathbb{R}^3$ 下的唯一分解的坐标:

[\vec v]_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}_{E} = 2 \vec e_1 + 3\vec e_2 + 1 \vec e_3.

在标准基底中,向量右下角的角标可以略去,但如果是向量在其他基底下的分解形式,则必须要加上角标.我们接下来研究一下向量在不同的基底之间是如何转化的.

定理 1.10

设 $\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_n \rbrace$ 为线性空间 $V$ 的一组基底, 设向量 $\vec u$ 在基底 $\beta$ 下的分解坐标为 $[\vec v]_{\beta} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}_{\beta}$ , 那么向量 $\vec u$ 在标准基底 $E$ 下的分解坐标即为 $c_1 \vec v_1 + c_2 \vec v_2 + \cdots + c_n \vec v_n$ .

我们来看另一组 $\mathbb{R}^3$ 的基底 $\gamma = \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_E , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_E, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_E\right)$ , 此时如果我们定义 $[\vec v]_{\gamma} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}_{\gamma}$ , 那么我们知道向量的坐标其实就是基底向量构成的线性组合.我们于是可以得出:

[\vec v]_{\gamma} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}_{\gamma} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_E + 3\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_E + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_E = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}_{E} \hspace{0.1cm} <i>(标准基底)</i>

此时,我们应该格外注意基底与向量坐标之间的顺序关系,在基底中,从左至右第 $i$ 个向量应该对应线性组合中的第 $i$ 项.在本书中,我们默认所有的基底的顺序都是固定的,因此我们便可以用 $\vec v_1, \vec v_2, \cdots, \vec v_n$ 来表示基底,其中 $\vec v_i$ 即为基底里面从左至右的第 $i$ 个向量,顺序不会发生变化.我们称这样的基底为有序基底 (Ordered Basis). 在本书中,所有的基底均为有序基底.

例题 1.12

已知 $\mathbb{P}_2(x)$ 的标准基底为 $E = \lbrace 1 , x , x^2 \rbrace$ , 设线性空间 $W\subset\mathbb{P}_2(x)$ 为满足 $f(1) = 0 , f'(1) = 0$ 的全体二次多项式构成的集合,求出 $W$ 的一组基.

解答 1.12

我们首先设 $f(x) = ax^2 + bx + c$ , 根据 $W$ 所给的限制条件,我们可以列出这样的一个方程组: $\begin{cases} a + b + c = 0 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$ .求解这个方程组并不困难,我们最终可以解得 $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} : s \in \mathbb{R}$ . 由此,我们可以取 $(1,-2,1)_E$ 作为 $W$ 的一组基.即为形如 $f(x) = k (1 - 2x + x^2) : k \in \mathbb{R}$ 的全体多项式.

例题 1.13

在 $\mathbb{R}^3$ 中,向量 $\vec v$ 在标准基底 $E$ 下分解的坐标为 $\vec v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ . 设

\gamma = \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}

为 $\mathbb{R}^3$ 的另一组基底,求 $[\vec v]_{\gamma}$ .

解答 1.13

这道题其实就是定理 $1.10$ 的逆运算. 我们可以假设 $[\vec v]_{\gamma} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}_{\gamma}$ , 那么我们就有这样一个线性方程组:

c_1\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}.

随后,我们只需要把工作交给我们的老朋友——Gauss消元了. 我们可以写出这样的矩阵:

\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{经过Gauss消元}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).

由此我们得出, $c_1 = c_2 = c_3 = 1$ , 则根据定义我们知道 $[\vec v]_{\gamma} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_{\gamma}$ .

我们现在已经了解向量在标准基底和其它基底之间的转化,那么对于两个非标准基底,它们之间的转化该如何求解呢?

例题 1.14

设 $\beta = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ , $\gamma = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\right\}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的两组基底. 若 $[\vec v]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ , 求 $[\vec v]_{\gamma}$ .

解答 1.14

此时,我们需要标准基底 $E$ 作为一个“过渡态”,先求出 $\vec v$ 在标准基底下的表示形式( $[\vec v]_E$ ), 然后在去求 $[\vec v]_{\gamma}$ . 根据定义我们知道

[\vec v]_E = 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

随后我们再设 $[\vec v]_{\gamma} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$ , 因此可以列出如下的线性方程组:

\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.

不难解得 $\begin{cases} c_1 = \frac{4}{5}\\ c_2 = -\frac{11}{5}\\ c_3 = -\frac{8}{5}\end{cases}$ . 由此我们得到 $[\vec v]_{\gamma} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ -\frac{11}{5} \\-\frac{8}{5} \end{pmatrix}_{\gamma}$ .

我们不难发现, 向量在不同基底下的坐标会有所不同. 不过有一个特例: 零向量. 根据我们的定义, 在任何基底下零向量的坐标均为 $0$ . 我们定义向量的坐标就好比物理学定义参考系一样,通过选取特定的基底,从而使得向量在这个基底下的坐标更加简洁和方便运算. 要格外注意的是在进行不同基底之间的运算时,我们一定要把向量转化到一个共同的基底下进行计算,就好比物理学里面我们要保证一个系统内所有物体的参考系是一致的.

在后续的章节中,我们将把基底与基底之间的相互转化看作线性变换,届时我们将从矩阵以及函数的角度重新审视基底与基底之间的变换,这种变换也被我们称作是矩阵的对角化,就是读者可能已经有所听闻的 $\vec{S} = \vec{P}^{-1} \vec{A} \vec{P}$ 形式. 在现阶段,读者只需要掌握对于给定的向量,求出其在不同基底下面的坐标即可.

{1.3 练习}

1. 在线性空间 $\mathbb{P}_3(x)$ 中,记集合 $V = \lbrace f(x) \in \mathbb{P}_3(x) : 2f(1) = f'(1) , f(1) + f(2) = 0 \rbrace$ , (其中集合 $V$ 也为一个线性空间,我们称其为 $\mathbb{P}_3(x)$ 的一个子空间.我们会在下一节详细地讨论子空间)试求出 $V$ 的一组基底.

2. 在线性空间 $\mathbb{R}^4$ 中,设在标准基底下分解的向量 $\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$ . 据此构造出 $\mathbb{R}^4$ 的一组基 $\beta$ , 使得 $\vec v_1 , \vec v_2 \in \beta$ .

3. 设 $\lbrace \vec x_1 , \vec x_2 , \vec x_3 \rbrace$ 和 $\lbrace \vec y_1 , \vec y_2 , \vec y_3 \rbrace$ 为线性空间 $\mathbb{R}^3$ 的两组基底,那么 $\lbrace \vec x_1 + \vec y_1 , \vec x_2 + \vec y_2 , \vec x_3 + \vec y_3\rbrace$ 能否也为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基底?

4. 在线性空间 $\mathbb{P}_n(x)$ 中,我们设 $\beta = \lbrace x^n ; x^n + x^{n-1} ; x^n + x^{n-1} + x^{n-2}; \cdots ; x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1 \rbrace$ 为 $\mathbb{P}_n(x)$ 的一组基底(读者可以尝试自行证明 $\beta$ 为一组基底). 我们设多项式 $f(x) = x^n + 2x^{n-1} + 3x^{n-2} + \cdots + nx + (n+1)$ , 据此求出 $[f(x)]_{\beta}$ (我们令 $\lbrace 1, x, x^2 , \cdots , x^n \rbrace$ 为 $\mathbb{P}_n(x)$ 的标准基底).

5. 在线性空间 $\mathbb{P}_n(x)$ 中,设 $f(x)\in \mathbb{P}_n(x)$ , 集合 $\beta = \lbrace f^{(0)} (x) , xf^{(1)}(x) , \cdots , x^n f^{(n)} (x) \rbrace$ , 其中 $f^{(k)}(x)$ 代表多项式 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数.当 $f(x)$ 满足什么条件时, $\beta$ 构成 $\mathbb{P}_n(x)$ 的一组基底?