6.6 特征函数与偏微分方程

*{特征函数与算子}

我们在第三章中学习了矩阵的特征值与特征向量. 那么在本节中我们将尝试拓宽这一概念: 即此时我把$\vec A \vec x = \lambda\vec x$中的$\vec x$当成是一个函数$X$, $\vec A$当成是一个线性算子$\mathcal{L}$, 那么我们有

$$\mathcal{L}X = \lambda X.$$

其中我们称$X$为算子$\mathcal{L}$的特征函数 (Eigenfunctions), $\lambda$为对应的特征值. 我们随后会发现, 特征函数与特征值对于一定条件下偏微分方程的求解具有很大的帮助. 我们不妨考虑如下的算子$\mathcal{L}$, 使得对于一元函数$X(x)$而言,

$$\mathcal{L}X(x) = -\frac{d^2}{dx^2}X(x).$$

算子$\mathcal{L}$即为求函数$X(x)$的二次导数相反数. 我们也可将上式简记为$\mathcal{L}X(x) = -\Delta_x X$, 其中$\Delta_x$为函数$X(x)$的Laplacian算子. 此时$-\Delta_x$为线性算子, 因为对任意的函数$X_1(x), X_2(x)$和常数$c$而言,

$$-\frac{d^2}{dx^2}(X_1(x)+cX_2(x)) = -\frac{d^2}{dx^2} X_1(x) -c\cdot\frac{d^2}{dx^2} X_2(x).$$

这样一来, 我们研究的对象便是

$$-\frac{d^2}{dx^2} X(x) =\lambda X(x).$$

一个很直观的例子便是$X(x) = \sin(x)$. 我们知道$\sin'(x) = \cos(x), \cos'(x)=-\sin(x)$, 因此$-\frac{d^2}{dx^2} \sin(x) = \sin(x)$, 而此时我们便有

$$-\frac{d^2}{dx^2}\sin(x)=\sin(x) = \lambda\sin(x),$$

因此我们称函数$\sin(x)$为$-\Delta_x$算子的特征函数, 此时$\lambda=1$为与之对应的特征值. 我们设$l>0$, $n$为整数, 那么

$$-\frac{d^2}{dx^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right)= \left(\frac{n\pi}{l} \right)^2\sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right) = \lambda \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right),$$

我们也由此可知$\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)$为算子$-\Delta_x$的特征函数, 与其对应的特征值为$\lambda = \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2$. 我们发现此时非零特征函数对应的特征值均为正数. 除此之外还有没有满足类似性质的函数呢?

形如定理$6.12$中的边界条件$X(a)=X(b)=0$被我们称作Dirichlet 边界条件 (Dirichlet Boundary Condition). 除了Dirichlet边界条件外还有很多其它的边界条件, 比如Neumann 边界条件 (Neumann Boundary Condition). 此时$X'(a)=X'(b)=0$. 同时, 不要忘记$-\frac{d^2}{dx^2}$同时也是一个线性算子, 因此我们可以尝试从线性代数的角度去学习它的性质. 回顾我们在内积空间中提到的内积: 设$f(x), g(x)$为实数函数, 我们定义$f(x), g(x)$在$[a,b]$上的内积为

$$\la f(x), g(x) \ra = \int_a^b f(x)\cdot g(x) dx,\tag{6.5}$$

若$\la f(x), g(x) \ra = 0$, 我们称$f(x), g(x)$在$[a,b]$上正交. 类比对称矩阵, 我们可以给出自伴算子 (Self-adjoint Operator)的定义:

如果我们取$\mathcal{L} = -\frac{d^2}{dx^2}$, $\mathcal{B}$为Dirichlet边界条件, 设$X_1(a) = X_1(b)=0, X_2(a)=X_2(b)=0$. 那么

$$\begin{aligned} \la -\frac{d^2}{dx^2} X_1(x), X_2(x) \ra &= \int_a^b-X_1''(x) \cdot X_2(x) dx\\ &=-X_1'(x)\cdot X_2(x) \Bigg|_{x=a}^{x=b} + \int_a^b X_1'(x)\cdot X_2'(x)dx\\ &=\int_a^b X_1'(x)\cdot X_2'(x)dx. \end{aligned}$$

与此同时,

$$\begin{aligned} \la X_1(x),-\frac{d^2}{dx^2} X_2(x) \ra &= \int_a^bX_1(x) \cdot (-X''_2(x))dx\\ &=-X_1(x)\cdot X_2'(x) \Bigg|_{x=a}^{x=b} + \int_a^b X_1'(x)\cdot X_2'(x)dx\\ &=\int_a^b X_1'(x)\cdot X_2'(x)dx. \end{aligned}$$

因此$\la -\frac{d^2}{dx^2} X_1(x), X_2(x) \ra=\la X_1(x),-\frac{d^2}{dx^2} X_2(x) \ra$, 也就是说$-\frac{d^2}{dx^2}$在Dirichlet边界条件下为自伴算子.

定理$6.13$则立刻引出了一条推论:

我们知道在学习矩阵的特征值与特征向量时, 我们可以将向量写成是由特征向量构成的线性组合. 那么在函数空间中我们能否也用特征函数构成的基底去表示其它函数呢? 我们由此引入Fourier级数的概念:

对于确定的$m$, 我们如果对等式(6.6)两边同时乘以$\sin\frac{n\pi x}{l}$再取积分, 我们能够得到

$$\begin{aligned} \int_0^l \sin\left(\frac{m\pi x}{l} \right)\phi(x)dx&= \int_0^l \sin\left(\frac{m\pi x}{l} \right)\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right)dx\\ &=\sum_{n=1}^\infty \int_0^l A_n \sin\left(\frac{m\pi x}{l} \right)\cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right)dx. \end{aligned}$$

求和与积分的顺序交换涉及到较多的实分析内容, 在此我们不做过多解释. 结合前面的到的推论, 我们知道当$m \neq n$时等式右边的积分为零. 因此

$$\sum_{n=1}^\infty \int_0^l A_n \sin\left(\frac{m\pi x}{l} \right)\cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right)dx = \frac{A_n}{2}\int_0^l 1-\cos\left(\frac{2n\pi x}{l} \right) dx=A_n\cdot \frac{l}{2}.$$

因此我们可得到$A_n$的求解公式:

$$A_n = \frac{2}{l} \int_0^l\phi(x) \cdot \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right)dx.$$

一般地, 在$-\frac{d^2}{dx^2}X(x)=\lambda X(x)$中, 设$\lambda_1,\cdots$为特征值, $X_1,\cdots$为特征函数. 那么对于$\phi(x)$而言, 我们可以类比将向量分解成特征向量的线性组合的方式, 将$\phi(x)$写作特征函数的线性组合:

$$\phi(x) = A_1X_1(x) +A_2X_2(x)+\cdots$$

那么当$X_i(x)$满足Dirichlet边界条件时, 特征函数之间彼此正交, 因此我们便有

$$A_n:= \frac{\la \phi(x), X_n(x) \ra }{||X_n(x)||^2} =\frac{\int_a^b \phi(x) X_n(x) dx}{\int_a^b X_n^2(x)dx}.$$

*{利用特征函数求解偏微分方程}

接下来, 我们将一起探究特征函数对于求解偏微分方程有着怎么样的作用. 我们此时不妨考虑满足Dirichlet边界条件的波动方程 (Wave Equation):

$$u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0, (0\leq x\leq l), \quad u(0,t)=u(l,t)=0, \quad u(x,0)=\phi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x).$$

这里$u(x,t)$可以理解为一根长度为$l$的弦在位置$x$处时间$t$时偏离平衡位置的位移. 边界条件表示弦的两端被牢牢地固定住. 为了能够求解$u(x,t)$, 我们采取分离变量法 (Seperation of Variables). 我们不妨假设其解满足$u(x,t) = X(x)T(t)$, 那么此时在波动方程中我们便有

$$X(x) T''(t) - c^2 X''(x) T(t) = 0.$$

通过变形, 我们有

$$-\frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = -\frac{X''(x)}{X(x)}=\lambda.\tag{6.7}$$

由于我们知道$X(x)$与$t$无关, $T(t)$与$x$无关. 因此上式能够成立的前提便是$\lambda$为常数. 我们还根据前面的推论知道, $\lambda>0$. 那么由此我们便得到了两组常微分方程:

$$-X''(x) +\lambda X(x) = 0, \quad T''(t) + c^2\lambda T(t)=0.$$

此时对于$X$而言, 我们发现$X(0)=0, X(l)=0$, 因此$-X''(x) =\lambda X(x)$满足Dirichlet边界条件. 根据我们前面的推理, 我们可以设其特征值与特征函数为

$$\lambda_n = \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2, \quad X_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right), n=1,2,\cdots$$

对于$T$而言, 不难发现$T''(t) + c^2\lambda T(t)=0$为一个二阶常微分方程. 我们将$\lambda$替换成$\lambda_n$, 然后可以用本章第$3$节的知识求解, 得到

$$T_n(t) = A_n \cos \left( \frac{n\pi c t}{l} \right)+B_n \sin\left( \frac{n\pi c t}{l} \right).$$

因此对于每一个$n$, 我们得到

$$u_n(x,t) = \left[A_n \cos \left( \frac{n\pi c t}{l} \right)+B_n \sin\left( \frac{n\pi c t}{l} \right) \right]\cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right).$$

我们根据叠加定理可知, 这些解的线性组合仍然是满足条件的解, 故我们有

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty\left[A_n \cos \left( \frac{n\pi c t}{l} \right)+B_n \sin\left( \frac{n\pi c t}{l} \right) \right]\cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{l} \right),$$

其中$A_n, B_n$的系数取决于初始条件中的$\phi(x), \psi(x)$. 由$u(x,0)=\phi(x)$可知, 我们令$t=0$, 得到

$$\phi(x) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right).$$

因此$A_n$正是边界条件$\phi(x)$中的Fourier正弦系数, 即

$$A_n = \frac{2}{l}\int_0^l \phi(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx.$$

另一方面,

$$u_t(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[ -A_n \cdot \frac{n\pi c}{l} \sin\left(\frac{n\pi c t}{l} \right) + B_n \cdot \frac{n\pi c}{l} \cdot \cos\left( \frac{n\pi c t}{l} \right) \right]\cdot \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right),$$

结合$u_t(x,0)=\psi(x)$, 我们有

$$\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty B_n \cdot \frac{n\pi c}{l} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{l} \right),$$

则

$$B_n = \frac{2}{n\pi c} \int_0^l \psi(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right)dx.$$

除此以外, 我们还可以利用特征函数求出热传导方程 (Heat Equation) 的解. 考虑满足Dirichlet边界条件的热传导方程:

$$u_t - ku_{xx} = 0, 0\leq x \leq l, u(0,t)=u(l,t)=0, u(x,0)=\phi(x),$$

其中$k>0$为热扩散系数. 物理上, 可以将$u(x,t)$想象成一根长度为$l$的细杆在位置$x$处, 时间$t$时的温度. Dirichlet边界条件代表细杆的两端温度始终为$0$. 我们同样可以采用分离变量法$u(x,t) = X(x)T(t).$ 因此我们有

$$X(x)T'(t) - kX''(x)T(t)=0 \implies -\frac{T'(t)}{kT(t)} = -\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda>0.$$

因此对于$X$而言我们仍然有

$$\lambda_n = \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2, \quad X_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right), n=1,2,\cdots$$

此时的$T(t)$满足

$$T'_n(t) + k\left( \frac{n\pi}{l} \right)^2T_n(t)=0,$$

其通解为

$$T_n(t) = C_n e^{-k(n\pi/l)^2 t}.$$

由此一来热传导方程的解即为

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty C_n e^{-k(n\pi/l)^2 t} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{l} \right).$$

此时如果我们再带入初始条件$u(x,0)=\phi(x)$, 不难发现

$$\phi(x) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right), \quad C_n = \frac{2}{l}\int_0^l \phi(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx.$$

{6.6 练习}

1. [Neumann 边界条件] 设$X(x)$为定义在$[a,b]$上的函数, 满足$-\frac{d^2}{dx^2}X(x) = \lambda X(x)$. 假设$X(x)$满足Neumann边界条件, 即$X'(a) = X'(b) = 0$.

(i) 证明此时非零特征函数的特征值$\lambda$为正数;

(ii) 证明$-\frac{d^2}{dx^2}$在Neumann边界条件下为自伴算子;

(iii) 求出此时的特征函数与特征值.

(iv) 在Neumann边界条件下, 波动方程和热传导方程的解有什么变化? 此时的边界条件在波动方程与热传导方程中有什么物理意义?

2. 分别求出函数$f(x)=1, f(x)=x$在区间$[0,\pi]$上的Fourier正弦级数.

3. 在波动方程$u_{tt}=c^2 u_{xx}$, $0\leq x\leq l$中, 边界条件满足$u(0,t)=u_x(l,t)=0$, $u(x,0)=x$, $u_t(x,0)=0$. 求出此时$u(x,t)$的解, 并将其表示成特征函数与特征值的复合形式.

4. 假设有一根长为$l$的金属棒. 在某时刻金属棒的温度为$T=1$, 随后其两端的温度被迅速地降为$T=0$. 此时对于金属棒上位置$x$处的温度$t$随时间的变化满足热传导方程$u_t - ku_{xx} = 0$. 求出此时$u(x,t)$的解, 并将其表示成特征函数与特征值的复合形式.