6.3 矩阵的指数与微分方程组的解

回顾函数$e^x$的Taylor展开式:

$$e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!},$$

我们能否将原式中的$x$替换成一个$n \times n$矩阵$\vec A$呢? 经过这样的替换, 矩阵的指数又有什么意义呢?

我们接下来给出$e^{\vec A t}$的性质. 首先当$t=0$时我们有$e^{\vec A\cdot 0}=e^{\vec 0} = \vec I$; 其次对于任意的$s,t \in \mathbb{R}$, 有$e^{\vec A(s+t)} = e^{\vec A s} \cdot e^{\vec A t}$; 同时矩阵$e^{\vec A t}$可逆, 其逆矩阵为$(e^{\vec A t})^{-1} = e^{-\vec A t}$; 最后我们关注的便是其关于$t$的导数. 我们有$\frac{d}{dt} e^{\vec A t} = \vec A e^{\vec A t}$. 在最后一条性质里面, 我们也不难发现形如$\vec y'(t) = \vec A\vec y(t)$的结构. 我们设矩阵$\vec Y(t) = e^{\vec A t}$, 那么我们有

$$\vec Y'(t) = \vec A \vec Y(t),$$

即$\vec Y(t)$为满足条件的一个矩阵解. 设$\vec Y(t)$的列向量为$\vec y_1(t),\cdots,\vec y_n(t)$, 那么根据矩阵乘法的性质, 我们有

$$\vec Y'(t) = \begin{pmatrix} \vec y_1'(t) & \cdots & y_n'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec A\vec y_1(t) & \cdots & \vec A\vec y_n(t) \end{pmatrix}.$$

因此$\vec y_1(t),\cdots,\vec y_n(t)$便是满足条件的一组解. 根据叠加性质, 它们的线性组合也同样为满足条件的解. 也就是说

$$\vec y(t) = c_1\vec y_1(t) + \cdots+c_n \vec y_n(t)$$

也为满足条件的解. 因此我们有

$$\vec y(t) = \begin{pmatrix} \vec y_1(t) & \cdots & \vec y_n(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = \vec Y(t) \vec c = e^{\vec A t} \vec c.$$

我们因此把上面的发现总结成一条定理:

那么我们该如何去求矩阵的指数呢? 我们不妨设$\lambda$为一个特征值, $\vec u$为与之对应的特征向量. 那么

$$e^{\vec A t}\vec u = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\vec A^k t^k \vec u = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}(\vec A^k\vec u) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}\lambda^k \vec u := e^{\lambda t}\vec u.$$

随后, 我们便可以用上一节讲到的知识进行求解了. 不过我们会问一个问题: 在上一节里面, 我们需要令矩阵$\vec A$可对角化. 当$\vec A$无法对角化时上一节的方法便不再适用了. 不过好消息是, 通过矩阵的指数, 我们可以轻松地解决$\vec A$不可对角化的情况. 在此情况下, 我们需要用到矩阵的广义特征向量(不熟悉的读者请参考第$5$章第$1$节).

我们假设特征值$\lambda$的代数重数为$m$, $\vec u$为与其对应的广义特征向量. 此时我们知道存在$j \leq m$, 使得对所有的$k > j$, $(\vec A-\lambda\vec I)^k\vec u = \vec 0$. 因此我们有

$$e^{\vec A t}\vec u = e^{\lambda\vec I t} \cdot e^{(\vec A-\lambda\vec I )t}\vec u = e^{\lambda t} \cdot\vec I \cdot\left( \sum_{k=0}^j \frac{t^k}{k!} (\vec A-\lambda\vec I)^k \right)\vec u.$$

在本节的最后, 我们简要讨论一下非齐次线性系统的求解. 假设我们有如下的系统:

$$\vec y'(t) = \vec A\vec y(t) + \vec r(t), \quad \vec r(t) \text{为连续函数}.$$

在这种情况下, 我们往往可以将该微分方程的解分成两部分: 第一部分是关于齐次线性系统$\vec y'(t) = \vec A\vec y(t)$的通解, 第二部分是和$\vec r(t)$有关的特解. 我们设$\vec y_1(t), \vec y_2(t)$为$\vec y'(t) = \vec A\vec y(t) + \vec r(t)$的两个不同的解, 那么不难发现

$$(\vec y_2(t) - \vec y_1(t))'=\vec A(\vec y_2(t) - \vec y_1(t)).$$

因此存在一个矩阵解$\vec Y(t)$, 使得$\vec y_2(t)-\vec y_1(t) = \vec Y(t) \vec c$为$\vec y'(t) = \vec A\vec y(t)$的解. 我们对这个式子进行变形, 有

$$\vec y_2(t) = \vec y_1(t) + \vec Y(t)\vec c, \quad\vec c\in\mathbb{R}^n.$$

我们称$\vec Y(t)\vec c$为齐次方程组$\vec y'(t)=\vec A\vec y(t)$的通解, $\vec y_1(t)$为与$\vec r(t)$有关的特殊解. 因此非齐次线性系统的通解即为

$$\vec y(t) = c_1\vec y_1(t) + \cdots+ c_n \vec y_n(t) + \vec y_p(t),$$

其中$\vec y_p(t)$为一个特殊解, $\vec Y(t) = \begin{pmatrix} \vec y_1(t) & \cdots & \vec y_n(t) \end{pmatrix}$. 我们令$\vec y_p(t) = \vec Y(t)\vec c_p(t)$, 其中$\vec c_p(t)$为未知量. 假设$\vec y_p(t)$为原方程的解, 那么

$$\vec y'_p(t) = \vec Y'(t) c_p(t) + \vec Y(t) \vec c'_p(t)=\vec A\vec Y(t)\vec c_p(t) + \vec Y(t)\vec c'_p(t).$$

与此同时

$$\vec y'_p(t) = \vec A\vec y_p(t) + \vec r(t) = \vec A\vec Y(t) \vec c_p(t) + \vec r(t),$$

则$\vec Y(t)\vec c'_p(t) = \vec r(t)$. 即

$$\vec c_p(t) = \int \vec Y^{-1}(t)\vec r(t) dt,$$

那么

$$\vec y_p(t) = \vec Y(t) \int\vec Y^{-1}(t)\vec r(t) dt.$$

{6.3 练习}

1. 求出下列矩阵的指数.

$$\vec A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \vec B=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}.$$

2. 设$\vec D$为对角矩阵$\vec D=\diag\begin{pmatrix} \lambda_1,\cdots,\lambda_n \end{pmatrix}$, 证明:

$$e^{\vec D} = \diag\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}, \cdots, e^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$

3. 设$\vec A$为幂零矩阵 (即存在$m$使得$\vec A^m = \vec 0$). 令$\vec N = \vec A + c\vec I, c\in\mathbb{R}$.

(i) 求$e^{\vec N t}$. 提示: 你可以很大程度地化简!

(ii) 用(i)中你得到的公式, 求出

$$\vec y'(t) = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\vec y(t), \quad \vec y(0)=\begin{pmatrix} 1 \\2\\3\\4\end{pmatrix}$$

的解.

4. 求出齐次线性微分方程组

$$\begin{cases} y_1'(t) &= 3y_1(t)+y_3(t)\\ y_2'(t) &= 3y_2(t)+y_3(t)\\ y_3'(t) &=3y_3(t) \end{cases}$$

的通解.

5. 运用常数变易法, 求出

$$\vec y'(t) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\vec y(t) + \begin{pmatrix} 2e^{-t} \\ 3t \end{pmatrix}$$

的通解.

6. 若$\vec A\in M_n(\mathbb{R})$有$n$个不同的特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R}$, 我们知道$\vec A$可对角化. 此时存在矩阵$\vec D=\diag\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}, \cdots, e^{\lambda_n} \end{pmatrix}$与可逆矩阵$\vec Q$, 使得

$$e^{\vec A} = \vec Q\vec D\vec Q^{-1}.$$

利用这一结论, 设$\vec A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$, 求$e^{\vec A}$.