4.3 矩阵的正交对角化

回顾我们在第三章中提到的矩阵的对角化: 对于矩阵 $\vec A$ 而言, 其可以对角化的条件是存在对角矩阵 $\vec P$ 与可逆矩阵 $\vec Q$ , 使得

\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^{-1}

成立. 其中位于 $\vec P$ 主对角线上的元素即为 $\vec A$ 的特征值; $\vec Q$ 的列向量即为 $\vec A$ 的特征向量. 如果我们回顾上一节中提到的正交矩阵和酉矩阵的定义, 我们发现当 $\vec Q$ 为正交矩阵时, $\vec Q^\top = \vec Q^{-1}$ . 因此我们能否尝试构造出 $\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^\top$ 的形式呢?

定义 4.8

设 $\vec A \in M_{n}(\mathbb{F})$ .

① 若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ , 且存在由 $\mathbb{R}^n$ 的一组单位正交基为列向量构成的矩阵 $\vec Q$ 以及对角矩阵 $\vec P$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^\top$ , 我们称 $\vec A$ 可正交对角化(Orthogonally Diagonalizable);

② 若 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ , 且存在由 $\mathbb{C}^n$ 的一组单位正交基为列向量构成的矩阵 $\vec Q$ 以及对角矩阵 $\vec P$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^*$ ( $\vec Q^* = (\overline{\vec Q})^\top$ ), 我们称 $\vec A$ 可酉对角化(Unitarily Diagonalizable).

通过定义, 我们可以分析出使得矩阵 $\vec A$ 正交对角化的条件:

首先, $\vec A$ 必须可以对角化. 否则我们就无法构造出矩阵 $\vec P$ 和 $\vec Q$ .
其次, 由于 $\vec Q$ 为正交(酉)矩阵, 这也就代表了 $\vec Q$ 中的列向量彼此正交. 由于我们知道, 不同的特征向量所对应的特征空间满足直和的关系, 因此 $\vec A$ 的特征空间彼此正交, 即 $Eig_{\vec A}(\lambda_i) \perp Eig_{\vec A}(\lambda_j), i\neq j$ ;
最后, 在一个特征空间中, 我们同样要满足其基底向量彼此正交, 因此我们需要通过Gram-Schmidt算法去找出特征空间的单位正交基.

例题 4.5

设线性变换 $\vec T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 满足

\vec T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}; \quad \vec T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}.

那么令 $E := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ , 判断 $[\vec T]_E^E$ 能否正交对角化.

解答 4.5

不难发现, $\vec A := [\vec T]_E^E=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . 那么很显然 $\vec A$ 有两个不同的特征值: $\lambda_1=3;\lambda_2=2$ . 由此我们知道 $\vec A$ 可对角化. 对于 $\lambda_1=3$ 而言, 其特征向量 $\vec v_1$ 满足

\vec v_1 \in \Ker(\vec A-\lambda_1\vec I) = \Ker\begin{pmatrix} 0 &-1\\0 & -1\end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}.

对于 $\lambda_2=2$ 而言, 其特征向量 $\vec v_2$ 满足

\vec v_2 \in \Ker(\vec A-\lambda_2\vec I) = \Ker\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}.

我们发现, $\vec v_1 , \vec v_2$ 所处的特征空间不正交. 因此我们无法构造出正交矩阵 $\vec Q$ , 因此 $[T]_E^E$ 不可正交对角化.

定理 4.8

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{F})$ .

① 若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ , 且 $\vec A$ 可正交对角化, 那么 $\vec A=\vec A^\top$ ( $\vec A$ 为对称矩阵);

② 若 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ , 且 $\vec A$ 可酉对角化, 那么 $\vec A$ 为正规矩阵 (Normal Matrix), 即 $\vec A\vec A^*=\vec A^*\vec A$ .

证明

对于①而言, 我们知道此时存在对角矩阵 $\vec P$ 和正交矩阵 $\vec Q$ , 使得 $\vec A = \vec Q \vec P \vec Q^\top$ . 那么

\vec A^\top = (\vec Q\vec P\vec Q^\top)^\top = (\vec Q^\top)^\top\vec P^\top\vec Q^\top = \vec Q\vec P\vec Q^\top.

对于②而言, 类似地

\vec A\vec A^* = \vec Q\vec P\vec Q^*(\vec Q\vec P\vec Q^*)^*=\vec Q\vec P\vec Q^*\vec Q\vec P^*\vec Q^* = \vec Q\vec P\vec P^*\vec Q^*=\vec Q\vec P^*\vec P\vec Q^*=\vec Q\vec P^*\vec Q^*\vec Q\vec P\vec Q^* = \vec A^*\vec A.

∎

该定理说明,实矩阵若可正交对角化,则必须是对称矩阵; 反过来, 我们随后便会知道:当 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ 时任何对称矩阵均可正交对角化. 对于 $\vec A \in M_n(\mathbb{C})$ 而言, 我们把正规矩阵主要分成以下几类:

• 若 $\vec A\in M_n(\mathbb{C})$ 满足 $\vec A = \vec A^*$ , 则 $\vec A$ 为自伴矩阵 (Self-adjoint Matrices). 其中

\la \vec x,\vec A\vec y \ra = (\vec x)^\top (\overline{\vec A \vec y}) = (\vec x^\top \overline{\vec A})\overline{\vec y} = (\overline{\vec A}^\top\vec x)^\top\vec y = \la \vec A^*\vec x,\vec y\ra = \la \vec A\vec x,\vec y\ra.

若定义在内积空间 $V$ 上的线性变换 $\vec T: V \to V$ 满足 $\la \vec T\vec u, \vec v \ra = \la \vec u, \vec T\vec v \ra$ , $\vec T$ 也被称作自伴算子 (Self-adjoint Operator).

定理 4.9

设 $\vec A \in M_n( \mathbb{C})$ 为自伴矩阵, 则 $\vec A$ 的所有特征值为实数.

证明

设 $\lambda$ 为 $\vec A$ 的一个特征值, $\vec v$ 为与之对应的特征向量. 那么根据推论 $4.2$ , 当 $\vec A \in M_n(\mathbb{C})$ 时我们可以得出相似的结果:

\la \vec x,\vec A\vec y \ra = (\vec x)^\top (\overline{\vec A \vec y}) = (\vec x^\top \overline{\vec A})\overline{\vec y} = (\overline{\vec A}^\top\vec x)^\top\vec y = \la \vec A^*\vec x,\vec y\ra.

设 $\lambda$ 为 $\vec A$ 的一个特征值, $\vec v$ 为与之对应的特征向量, 那么我们有 $\la \vec A\vec v, \vec v \ra = \la \vec v, \vec A\vec v \ra$ , 因此由 $\vec A\vec v = \lambda\vec v$ , 我们得到 $\la \lambda\vec v,\vec v \ra = \la \vec v,\lambda\vec v \ra$ . 根据内积的性质, $\la \lambda\vec v , \vec v \ra = \lambda \cdot|| \vec v ||^2$ ; $\la \vec v, \vec A\vec v \ra = \overline{\lambda} \cdot ||\vec v||^2$ . 即我们有 $\lambda ||\vec v||^2 = \overline{\lambda} ||\vec v||^2$ . 由于 $\vec v$ 为非零向量, 则 $\lambda \in \mathbb{R}$ .

∎

同理, 所有的自伴算子的特征值也均为实数.

• 若 $\vec A\in M_n(\mathbb{C})$ 满足 $\vec A = -\vec A^*$ , 则 $\vec A$ 为斜自伴矩阵 (Skew-adjoint Matrices). 其中

\la \vec x,\vec A\vec y \ra = (\vec x)^\top (\overline{\vec A \vec y}) = (\vec x^\top \overline{\vec A})\overline{\vec y} = (\overline{\vec A}^\top\vec x)^\top\vec y = \la \vec A^*\vec x,\vec y\ra = -\la \vec A\vec x,\vec y\ra.

若定义在内积空间 $V$ 上的线性变换 $\vec T: V \to V$ 满足 $\la \vec T\vec u, \vec v \ra = -\la \vec u, \vec T\vec v \ra$ , $\vec T$ 也被称作斜自伴算子 (Skew-adjoint Operator).

定理 4.10

设 $\vec A \in M_n( \mathbb{C})$ 为斜自伴矩阵, 则 $\vec A$ 的所有非零特征值为纯虚数.

证明

设 $\lambda$ 为 $\vec A$ 的一个特征值, $\vec v$ 为与之对应的特征向量. 则 $\la \vec A\vec v, \vec v \ra = \la \lambda\vec v, \vec v \ra = \lambda ||\vec v||^2.$ 同时 $\la \vec A\vec v, \vec v \ra = -\la \vec v, \vec A\vec v \ra = -\la \vec v, \lambda\vec v \ra = -\overline{\lambda} ||\vec v||^2.$ 则 $\lambda = -\overline{\lambda}$ , 即 $\mathbf{Re}(\lambda)=0$ .

∎

同理, 所有的斜自伴算子的非零特征值也均为纯虚数.

• 若 $\vec A\in M_n(\mathbb{C})$ 满足 $\vec A^* = \vec A^{-1}$ , 则 $\vec A$ 为酉矩阵 (Unitary Matrices). 其中

\la \vec A\vec x , \vec A\vec y \ra = (\vec A\vec x)^\top (\overline{\vec A\vec y}) = \vec A(\vec x^\top \overline{\vec A})\overline{\vec y} = \vec A(\vec A^*\vec x)^\top\overline{\vec y} = \vec A \la \vec A^*\vec x, \vec y \ra = \vec A\vec A^* \la \vec x,\vec y\ra = \la \vec x,\vec y \ra.

若定义在内积空间 $V$ 上的线性变换 $\vec T: V \to V$ 满足 $\la \vec T\vec u, \vec T\vec v \ra = \la \vec u, \vec v \ra$ , $\vec T$ 也被称作酉算子 (Unitary Operator).

定理 4.11

设 $\vec A \in M_n( \mathbb{C})$ 为酉矩阵, 则对 $\vec A$ 中任意的特征值 $\lambda$ 而言, $\lambda \overline{\lambda}=1$ .

证明

根据酉算子的定义, $\la \vec A\vec v,\vec A\vec v \ra = \la \vec v, \vec v \ra.$ 此外 $\la \vec A\vec v, \vec A\vec v \ra = \la \lambda\vec v, \lambda \vec v \ra = \lambda \cdot \overline{\lambda} \la \vec v, \vec v \ra$ . 因此原式得证.

∎

同理, 所有的酉算子的特征值也均满足上述性质.

我们接下来将重点研究正规矩阵的性质:

定理 4.12

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{C})$ 为正规矩阵, $\vec u$ 为 $\vec A$ 中与 $\lambda$ 对应的特征值, 则 $\vec u$ 同为 $\vec A^*$ 中与 $\overline{\lambda}$ 对应的特征值.

证明

可知 $\la \vec A\vec v,\vec v \ra = \la \lambda\vec v, \vec v \ra = \lambda \la \vec v, \vec v \ra = \la \vec v, \overline{\lambda} \vec v \ra$ . 同时结合 $\la \vec A\vec v, \vec v \ra = \la \vec v, \vec A^*\vec v \ra$ 即可得证.

∎

定理 4.13

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{C})$ 为正规矩阵, $\vec u, \vec v$ 分别为特征值 $\lambda, \mu$ 所对应的特征向量( $\lambda \neq \mu$ ). 则 $\la \vec u, \vec v \ra = 0$ .

证明

设 $\vec A\vec u = \lambda\vec u, \vec A\vec v=\mu\vec v$ . 那么 $\la \vec A\vec u, \vec v \ra = \la \lambda\vec u, \vec v \ra = \lambda \la \vec u, \vec v \ra$ . 同时

\la \vec A\vec u, \vec v \ra = \la \vec u, \vec A^*\vec v \ra = \la \vec u, \overline{\mu}\vec v \ra = \mu \la \vec u, \vec v \ra.

由于 $\lambda \neq \mu$ , 则 $\la \vec u, \vec v \ra = 0$ .

∎

也就是说, 对于所有的正规矩阵或正规算子而言, 其特征空间两两彼此正交. 那么是不是就代表了这些矩阵可以正交对角化了呢? 我们现在提出本章最重要的定理:

定理 4.14

设 $V$ 为定义在数域 $\mathbb{F}$ ( $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ )上的内积空间, 记线性变换 $\vec T: V \to V$ , 其矩阵形式为 $\vec A$ . 假设 $\vec T$ 的特征多项式可在 $\mathbb{F}$ 中分解, 那么 $\vec T$ 可正交对角化( $\vec A$ 可正交对角化)的充要条件是 $\vec T$ 为正规算子( $\vec A$ 为正规矩阵).

该定理的证明我们在本书中忽略. 感兴趣的同学请在今后选修泛函分析或者高等代数课程. 我们从两个方面去理解谱定理:

• 第一, 如果 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ , 那么 $\vec A^*=\vec A^\top$ , 即 $\vec A\vec A^\top = \vec A^\top\vec A$ , 即 $\vec A= \vec A^\top$ , 因此 $\vec A$ 为对称矩阵. 也就是说 $\vec A$ 可以正交对角化的充要条件是 $\vec A$ 为对称矩阵. 此时, 存在矩阵 $\vec Q$ , 使得 $\vec Q$ 的列向量为 $\vec A$ 的特征向量, 且它们构成 $V$ 的一组标准正交基. 记 $\vec P$ 为包含 $\vec A$ 的特征值的对角矩阵, 那么

\vec A = \vec Q\vec P \vec Q^\top.

• 第二, 如果 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ , 此时 $\vec A$ 为正规矩阵, 也就包括了我们先前提出的几种情况: 自伴矩阵, 斜自伴矩阵, 酉矩阵. 因此, $\vec A$ 可以正交对角化的充要条件是 $\vec A$ 为正规矩阵. 此时, 存在矩阵 $\vec Q$ , 使得 $\vec Q$ 的列向量为 $\vec A$ 的特征向量, 且它们构成 $V$ 的一组标准正交基. 记 $\vec P$ 为包含 $\vec A$ 的特征值的对角矩阵, 那么

\vec A = \vec Q\vec P \vec Q^*.

例题 4.6

设 $\vec A = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . 找出 $\vec P,\vec Q\in M_3(\mathbb{C})$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^*$ .

解答 4.6

不难发现, $\vec A$ 为正规矩阵, 因此 $\vec A$ 可正交对角化. $\vec A$ 的特征多项式为

C_{\vec A}(x) = \det\begin{pmatrix} -x & i & 0 \\ -i & -x & 0 \\ 0& 0 &-x \end{pmatrix} = -x(x^2-1) = -x(x+1)(x-1).

因此 $\vec A$ 有三个特征值 $\lambda_1=0,\lambda_2=-1,\lambda_3=1$ . 三个特征值对应的特征空间分别为

\Eig_{\vec A}(\lambda_1) = \Ker\begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.

\Eig_{\vec A}(\lambda_2) = \Ker\begin{pmatrix} 1 & i & 0 \\ -i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} i \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}.

\Eig_{\vec A}(\lambda_3) = \Ker\begin{pmatrix} 1 & i & 0 \\ -i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0\end{pmatrix}.

由于 $\vec A$ 的特征空间两两正交, 因此我们得到的三个向量即构成了 $\mathbb{C}^3$ 的一组正交基. 通过单位化, 我们得到的单位正交基为

\vec v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}; \vec v_2= \begin{pmatrix} \frac{i}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix}, \vec v_3=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix}.

因此我们得到

\vec P =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad\vec Q = \begin{pmatrix} 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

在本节的最后, 我们浅谈一下对角化概念的扩充: 三角化 (Triangularization).

定义 4.9

设 $\vec V$ 为维数为 $n$ 的线性空间, 设线性变换 $\vec T: \vec V \to \vec V$ . 若存在 $\vec V$ 的一组基底 $\beta$ , 使得 $[\vec T]_\beta$ 为上三角矩阵, 且位于主对角线上的元素为 $\vec T$ 的特征值, 则我们称 $\vec T$ 为可三角化的线性算子.

矩阵的三角化和线性变换的三角化具有相似的定义: 若 $\vec A$ 相似于以 $\vec A$ 特征值为主对角线元素的上三角矩阵, 我们则称矩阵 $\vec A$ 可三角化, 反之同样成立: 此时存在可逆矩阵 $\vec Q$ 和上三角矩阵 $\vec P$ , 使得 $\vec A = \vec Q \vec P \vec Q^{-1}$ . 其中

\vec P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & \lambda_2 & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix},

$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 为 $\vec A$ 的特征值. 如果 $\vec Q$ 为正交矩阵或酉矩阵, 原结论同样成立, 我们称 $\vec A$ 可正交三角化.

定义 4.10

设 $\vec A,\vec P\in M_n(\mathbb{F})$ .

① 若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ , 且存在正交矩阵 $\vec Q$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P \vec Q^\top$ , 我们称 $\vec A$ 正交相似于 $\vec P$ ;

② 若 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ , 且存在酉矩阵 $\vec Q$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P \vec Q^*$ , 我们称 $\vec A$ 酉相似于 $\vec P$ .

下面的定理告诉了我们矩阵 $\vec A$ 在什么情况下可以正交三角化:

定理 4.15

设 $\vec V$ 为维数为 $n$ , 定义在数域 $\mathbb{F}$ ( $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ )上的内积空间. 则以下两个推论等价:

① 线性变换 $\vec T: V \to V$ 的特征多项式可在 $\mathbb{F}$ 中分解, 即

C_{\vec T}(x) = (x-\lambda_1)^{a_1}\cdots(x-\lambda_k)^{a_k},\quad a_1+\cdots+a_k=n; \lambda_i \in \mathbb{F};

② 存在一组 $V$ 的单位正交基 $\beta$ , 使得 $[\vec T]_\beta$ 为上三角矩阵, 且 $[\vec T]_\beta$ 的主对角线上的元素为 $\vec T$ 的特征值.

证明

② $\to$ ①: 假设存在满足条件的单位正交基 $\beta$ . 那么设 $\vec T$ 在任意基底下的矩阵形式为 $\vec A$ , 则存在由 $\beta$ 中的元素为列向量的矩阵 $\vec Q$ , 使得 $\vec A = \vec Q [\vec T]_\beta \vec Q^*$ , 即 $\vec A, [\vec T]_\beta$ 相似, 又因为相似矩阵的特征值相同, 故①得证.

① $\to$ ②. 我们将采用数学归纳法. 假设①成立. 设 $\dim(V)=n$ . 首先若 $n=1$ , 那么结果显然成立. 我们假设结论②对所有 $\dim(V)<n$ 的正整数成立, 则我们需验证结论②对 $\dim(V)=n$ 时成立. 设 $\lambda_1$ 为 $\vec T$ 的一个特征值, $\vec v_1$ 为与之对应的特征向量, 且不失一般性地讲令 $||\vec v_1||=1$ . 利用Gram-Schmidt算法, 以 $\vec v_1$ 为基础构造出 $\vec V$ 的一组单位正交基 $\beta=\{\vec v_1,\cdots,\vec v_n\}$ . 令 $\vec P=\begin{pmatrix} \vec v_1 & \cdots & \vec v_n \end{pmatrix}$ , 则

\vec A = \vec P [\vec T]_\beta\vec P^{-1}.

其中, 我们可以将 $[\vec T]_\beta$ 写作

[\vec T]_\beta = \begin{pmatrix} [\vec T(\vec v_1)]_\beta & \cdots & [\vec T(\vec v_n)]_\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} [\lambda_1\vec v_1]_\beta & \cdots & [\vec T(\vec v_n)]_\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \vec u^\top \\ \vec 0_{n-1} & \vec A_1 \end{pmatrix},

$\vec 0_{n-1}$ 代表维数为 $n-1$ 的零向量; $\vec u$ 为一未知向量, $\vec A_1$ 为未知 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵. 由于 $\vec A, [\vec T]_\beta$ 相似, 因此二者有相同的特征多项式, 因此 $[\vec T]_\beta$ 的特征多项式可在 $\mathbb{F}$ 中分解. 那么根据数学归纳法原理, 矩阵 $\vec A_1$ 可正交三角化. 即存在正交矩阵(或酉矩阵) $\vec Q\in M_{n-1}(\mathbb{F})$ , 由 $\vec A_1$ 的特征值为主对角线元素的上三角矩阵 $\vec A_2$ , 使得

\vec A_1 = \vec Q \vec A_2\vec Q^{-1}.

我们现在假设

\vec R=\begin{pmatrix} 1 & \vec 0_{n-1}^\top \\ \vec 0_{n-1} & \vec Q \end{pmatrix},

那么不难发现矩阵 $\vec R$ 可逆. 除此之外, 注意到

\vec R^{-1} [\vec T]_\beta \vec R = \begin{pmatrix} 1 & \vec 0_{n-1}^\top \\ \vec 0_{n-1} & \vec Q^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_0 & \vec u^\top \\ \vec 0_{n-1} & \vec A_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \vec 0_{n-1}^\top \\ \vec 0_{n-1} & \vec Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_0 & \vec u^\top \\ \vec 0_{n-1} & \vec A_2 \end{pmatrix}.

因此 $\vec R^{-1} [\vec T]_\beta \vec R$ 为上三角矩阵. 同时由 $\vec R^{-1}[\vec T]_\beta\vec R = \vec R^{-1}\vec P^{-1} \vec A \vec P\vec R = (\vec P \vec R)^{-1} \vec A (\vec P \vec R)$ 可知, $(\vec P \vec R)^{-1} \vec A (\vec P \vec R)$ 为上三角矩阵. 由于 $\vec P,\vec Q$ 均为正交矩阵(或酉矩阵), 则 $\vec P\vec Q$ 同为正交矩阵(或酉矩阵). 因此根据定义 $\vec T$ 可正交三角化.

∎

推论 4.3

对任意的 $\vec A \in M_n(\mathbb{C})$ 而言, $\vec A$ 单一相似(Unitarily Similar) 于一个上三角矩阵 $\vec P$ . 即存在一组 $\mathbb{C}^n$ 的单位正交基 $\{\vec v_1,\cdots,\vec v_n\}$ , 设矩阵 $\vec Q = \begin{pmatrix} \vec v_1 & \cdots & \vec v_n \end{pmatrix}$ , 有

\vec A = \vec Q \vec P \vec Q^*.

其中 $\vec P$ 位于主对角线上的元素即为 $\vec A$ 的特征值.

{4.3 练习}

1. 对于下面定义在内积空间 $V$ 上的线性变换 $\vec T: V \to V$ , 判断 $\vec T$ 是否为: 正规算子; 自伴算子; 酉算子 (当数域为 $\mathbb{R}$ 时, 我们把 $\vec A^*$ 当成 $\vec A^\top$ 处理即可).

(i) $V=\mathbb{R}^2, \vec T\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a-2b \\ -2a+5b \end{pmatrix}$ ;

(ii) $V =\mathbb{R}^3, \vec T\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a+b \\ 5b \\ 4a-2b+5c \end{pmatrix}$ ;

(iii) $\vec V=\mathbb{C}^2, \vec T\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+ib \\ a+2b \end{pmatrix}$ ;

(iv) $\vec V = P_2(\mathbb{R}), \vec T(f(x)) = f'(x)$ . 其中 $\la f(x), g(x) \ra = \int_0^1 f(x)\cdot g(x) dx$ ;

(v) $V = M_2(\mathbb{R}), \vec T(\vec A) = \vec A^\top$ .

2. 设 $\vec A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , 求出矩阵 $\vec Q, \vec P\in M_3(\mathbb{R})$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^\top$ .

3. 设 $\vec A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ , 求出矩阵 $\vec Q, \vec P\in M_3(\mathbb{C})$ , 使得 $\vec A = \vec Q\vec P\vec Q^*$ .

4. 设定义在维数有限的内积空间 $V$ 上的线性变换 $\vec T:V \to V$ 为正规算子(即 $\vec T^* \vec T = \vec T \vec T^*$ , 或 $[\vec T]_\beta$ 为正规矩阵). 证明:

(i) 对任意的 $\vec v \in V, || \vec T \vec v|| = ||\vec T^* \vec v ||$ ;

(ii) 对任意的 $\lambda \in \mathbb{F}$ , $\vec T - \lambda \vec I$ 为正则算子.

5. 设 $V$ 为定义在 $\mathbb{C}$ 上的内积空间, $\vec T: V \to V$ 为线性变换. 定义 $\vec T_1,\vec T_2: V\to V$ , 使得

\vec T_1 = \frac{1}{2}(\vec T+\vec T^*);\quad\vec T_2=\frac{1}{2i}(\vec T-\vec T^*).

证明: $\vec T_1,\vec T_2$ 为自伴算子.

6. [简化版谱定理] 设 $V$ 为定义在 $\mathbb{F}$ 上的内积空间, $\vec T: V \to V$ 为线性变换. 记 $\vec T$ 的矩阵形式为 $\vec A$ . 证明: $\vec T$ 为自伴算子的充要条件是矩阵 $\vec A$ 正交相似(或单一相似)于对角矩阵. 即存在正交矩阵(或酉矩阵) $\vec Q$ 与对角矩阵 $\vec P$ , 使得 $\vec A = \vec Q \vec P \vec Q^{-1}$ 成立. 提示: 用Schur定理. 同时该定理还告诉我们如下性质:

若 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ , 那么 $\vec A$ 正交相似于对角矩阵的充要条件是 $\vec A = \vec A^\top$ ;
若 $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ , 那么 $\vec A$ 单一相似于对角矩阵的充要条件是 $\vec A = \vec A^*$ .