3.1 不同基底之间的转换

如果读者此时还有印象，想必会记得在第二章第一节里面我举了一个例子：求出把向量投影到直线$y=2x$上的变换矩阵.那么理想情况下便是取两个分别与直线平行，垂直的向量作为基底，此时的线性变换矩阵便会十分简单.但是我们最后却混淆了不同的基底，导致计算结果出错. 我们现在来重新审视一下这个问题：考虑线性变换$\mathcal{T} : \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V}$以及线性空间$\mathcal{V}$的两组基底

$$\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2, \cdots, \vec v_n \rbrace ; \gamma = \lbrace \vec u_1, \vec u_2, \cdots, \vec u_n \rbrace$$

我们假设选取$\beta$基底作为我们的“参考系”，那么对于任意的一个向量$\vec v \in \mathcal{V}$, 我们记该向量在基底$\beta$ 下的坐标为$[\vec v]_{\beta}$.此时我们设$[\mathcal{T}]_{\beta}$为线性变换在基底$\beta$下的表达形式，那么只有这样，我们知道$[\mathcal{T}]_{\beta} [\vec v]_{\beta}$才有意义.如果此时我们假设$[\mathcal{T}]_{\gamma}$为线性变换在基底$\gamma$下的表达形式，此时我们知道乘法 $[\mathcal{T}]_{\gamma} [\vec v]_{\beta}$没有意义，我们需要将二者转化到同一个基底里面.我们不妨假设 $[\mathcal{T}]_{\gamma}$的形式非常简便，所以我们会考虑把$[\vec v]_{\beta}$转化为$[\vec v]_{\gamma}$.我们假设线性变换$\mathcal{T}_{\beta}^{\gamma} : [\vec v]_{\beta} \longrightarrow [\vec v]_{\gamma}$便是实现这一转化的媒介.设该变换的矩阵形式为$\vec P$, 那么根据定义，我们有

$$\vec P = \left(\begin{array}{||c|} \\ [(\vec v_1)]_{\gamma} & [(\vec v_2)]_{\gamma} & \cdots & [(\vec v_n)]_{\gamma} \\ \end{array}\right)$$

此时，我们便可以使用$[\mathcal{T}]_{\gamma} [\vec v]_{\gamma}$进行计算, 记$[\mathcal{T}]_{\gamma} [\vec v]_{\gamma} = [\vec w]_{\gamma}$.我们最后需要做的即为将该向量重新变化至我们所选定的基底$\beta$中.为此我们便可以使用$\mathcal{T}_{\beta}^{\gamma}$的逆变换.下面的图便是一个非常直观的例子：

$$\begin{CD} [\vec v]_{\beta} @>{[\mathcal{T}]_{\beta}}>> [\mathcal{T} \vec v]_{\beta} \\ @V{\vec P}VV @AA{\vec P^{-1}}A \\ [\vec v]_{\gamma} @>{[\mathcal{T}]_{\gamma}}>> [\mathcal{T} \vec v]_{\gamma} \end{CD}$$

由此不难看出，对于任意的$[\vec v]_{\beta}$, 有$[\mathcal{T}]_{\beta} [\vec v]_{\beta} = \left( \vec P^{-1} [\mathcal{T}]_{\gamma} \vec P \right) [\vec v]_{\beta}$.这样一来，我们就完成了不同基底之间的转换.那么现在我们就可以回到之前所提到的例子了：

对于这种形如$\vec A = \vec Q^{-1} \vec P \vec Q$的形式，我们用矩阵的相似来定义该关系.

不难看出，相似矩阵之间还是一个等价关系，即相似矩阵满足自反性，对称性和传递性.有兴趣的读者可以自行证明.