2.4 逆矩阵与线性变换的逆变换

让我们回到线性方程组$A \vec x = \vec y$中. 我们知道若$\vec x$已知,则可以利用用矩阵与向量的乘法$\vec A\vec x$来计算结果$\vec y$.那么我们设想这种情况：若$\vec y$已知,我们该怎么去求解$\vec x$呢？我们可以试着构造出另一个矩阵${B}$, 使得$B \vec y = \vec x$.那么在此情况下矩阵$A, B$之间满足什么关系？我们可以在等式$B \vec y = \vec x$两边同时乘以矩阵$A$, 得到$A( B \vec y) = A \vec x = \vec y$. 那么根据定义,我们有$A B = \vec I$ ; 同理我们也可以在等式$A \vec x = \vec y$两边同时乘以矩阵$B$,那么有$B (A \vec x) = B \vec y = \vec x$.根据定义我们有$B A = \vec I$, 此时我们发现$A B , B A$均有意义, $A B = B A = \vec I$. 在此情况下, 我们可以把$B$写作$A^{-1}$, 代表矩阵 $A$的逆矩阵 (Inverse Matrix)；同理可以把$A$写作$B^{-1}$, 代表矩阵 $B$的逆矩阵 (Inverse Matrix).我们由此引入逆矩阵的概念：

我们因此不难发现 ：若$A$为$B$的逆矩阵,则$B$为$A$的逆矩阵,即逆矩阵满足对称性.

所以我们会想：什么情况下一个矩阵存在逆矩阵呢？在本书中, 我们只考虑形如$AB=BA=\vec I$的你矩阵, 那么因此有且仅有$n \times n$矩阵存在逆矩阵.那么在所有的$n \times n$矩阵中,究竟要满足什么样的性质才能够使得矩阵可逆呢？我们此时不妨从线性变换的角度去研究这个问题.我们知道.每一个矩阵都对应着一个线性变换$\vec T$, 在选定基底$\beta = \lbrace \vec v_1, \vec v_2 , \cdots, \vec v_n \rbrace$的情况下,该线性变换对应的矩阵即为

$$[\vec T]_{\beta} = \left(\begin{array}{||c|} \\ [\vec T(\vec v_1)]_{\beta} & [\vec T(\vec v_2)]_{\beta} & \cdots & [\vec T(\vec v_n)]_{\beta} \\ \end{array}\right).$$

我们同时也知道,此时由于线性变换前后所对应的线性空间的维数不发生改变,因此只要得出单射或满射,便可以直接得出该变换为双射. 而我们知道,满射即代表矩阵$[T]_{\beta}$中的列向量可以构成$\mathcal{V}$的一组基底,再结合单射代表列向量彼此线性无关,我们可以再度由行秩定理得到该矩阵的行向量也彼此线性无关,等等.也就是说,有非常多种方法来确定一个线性变换（矩阵）是否可逆,同时矩阵可逆也同时告诉了我们非常多的潜在结论.我们把这些性质总结成为一条冗长的定理：

定理$2.13$其实还可以扩充更多的结论,限于篇幅原因我省略了一部分. 在这里强烈建议读者结合目前所学的知识, 尝试去扩充这些结论: 比如在线性方程组$A\vec x = \vec b$中,矩阵可逆是否和解的结构有关系? 如果我们此时把目光重点放在可逆矩阵上,我们还能引出很多有关可逆矩阵的性质:

再次强烈建议读者尝试对定理$2.14$中的结论进行证明. 此处还是由于篇幅原因,我将不做证明.

根据这个定义,我们也不难发现所有的单位矩阵$\vec I \in M_n$均为自逆矩阵.

随后,让我们回到线性方程组$A \vec x = \vec b$中,我们假设矩阵$A$存在逆矩阵,那么我们便可以在等式的两边同时乘以$A^{-1}$, 我们进而得到

$$\vec x = A^{-1} \vec b$$

其中$\vec x$便是该方程组的唯一解.我们可以仿照$A \vec x = \vec b$的形式,去判断或者求解一个矩阵的逆矩阵. 在线性方程组$A\vec x = \vec b$中,我们可以把$\vec x$看作是某个$A$的逆矩阵,把$\vec b$看作单位矩阵$\vec I$.这样,我们便可以用研究线性方程组的方法来研究逆矩阵了.

需要强调的一点是,当我们使用$\left(\begin{array}{c|c} A & \vec I \end{array}\right)$进行消元时, $A$矩阵应可逆,否则我们无法得出形如$\left(\begin{array}{c|c} \vec I & A^{-1} \end{array}\right)$的形式.所以这种方法其实也是判断矩阵$A$是否可逆的方法.这种方法的优点是我们不仅可以判断出矩阵$A$是否可逆,当矩阵可逆时我们还可以直接求出$A$的逆矩阵.当我们完成下一节对行列式的学习之后,我们将给出逆矩阵的另外一种求法.

不难发现,①,②的结构十分相似,我将仅证①,第二问的证明留给读者思考.

{2.4 练习}

1. 求出下列矩阵的逆矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}; C= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

2. 若$(A^\top - 2I_2)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, 求$A$.

3. 设$A,B$均为$n \times n$矩阵,下列哪些说法是正确的?

① 若$A \neq \vec 0$, 则$A$可逆;

② 若$A,B$均可逆, 则$A + B$可逆;

③ 若$A,B$均可逆, 则$(A^{-1}B)^\top$可逆;

④ 若$A^4 = 3I$, 则$A$可逆;

⑤ 若$A^2$可逆, 则$A$可逆;

⑥ 若$A$可逆且斜对称 (Skew Symmetric)(即$A^\top = -A$) ,则$A^{-1}$可逆且斜对称;

⑦ 若$AB = B$且$B \neq \vec 0$, 则$A$可逆.

4. 设$\vec{P} = \begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{pmatrix}$, 求$\vec{P}\vec{P}^\top$及$\vec{P}^{-1}$ ($\vec{P} \neq \vec 0$).

5. 设$A$为$n \times n$矩阵,若$A$中每一行的全部元素加和均为$0$,证明：$A$不可逆.

6. 设$P$为$n \times n$矩阵,满足$P^2 = P$.证明:

① $\vec I - 2P$为自逆矩阵;

② $\vec I - aP$可逆当且仅当$a \neq 1$, 并验证$(\vec I - aP)^{-1} = \vec I + \displaystyle{\left(\frac{a}{1-a} \right) P}$.

7. 若矩阵满足$U^2 = \vec I$, 证明：$\vec I + U$不可逆,除非$U = \vec I$.

8. 设$A,B$均为$n \times n$矩阵, 证明:

① $A(\vec I + BA) = (\vec I + AB)A$, 且$(\vec I + BA)B = B(\vec I + AB)$;

② 若$\vec I + AB$可逆,则$\vec I + BA$也可逆,且$(\vec I + BA)^{-1} = \vec I - B(\vec I + AB)^{-1}A$.

9. 设$A$为$n \times n$矩阵, 若$A^n = \vec 0$, 求$(\vec I - A)^{-1}$.

10. 设$n \times n$矩阵$J$中的每一个元素均为$1$ (即$(J)_{ij} = 1 \hspace{0.13cm} (1 \leq i,j \leq n)$ ), 若$(\vec I - \lambda J)$为自逆矩阵和对称矩阵, 求$\lambda$.(用含有$n$的式子表示).

11. 设$n\times n$矩阵$A$中的元素$a_{ij}, 1\leq i,j \leq n$满足

$$|a_{ii}| > \sum_{j=1, j \neq i}^n |a_{ij}|.$$

证明: 矩阵$A$可逆.