2.2 线性变换的函数性质

在上一章中,我们引出了线性变换的概念以及线性变换的基本性质,那么在本节中我们将通过函数的角度去重新审视线性变换.我说过线性变换就好比是作用于线性空间的函数,那么线性变换是否也具有一些函数特性呢?我们不妨先考虑平面直角坐标系 $xOy$ 内的函数 $y = f(x)$ : 我们如果要研究 $f(x)$ , 有哪些值得关注的点?我们自然会想到函数的定义域和值域；更进一步会研究函数的零点,单调性和极值等.这些概念我们可以尝试与线性变换 $\vec T : U \longrightarrow V$ 进行一一对应.

首先我们来看定义域和值域,在函数 $y = f(x)$ 中,定义域和值域均为 $\mathbb{R}$ 的子集,我们可以写作 $f : A \subset \mathbb{R} \longrightarrow B \subset \mathbb{R}$ . 对于线性变换而言,我们知道其本质还是 $\vec A \vec x = \vec b$ , 其中 $\vec A$ 为变换 $\vec T$ 的矩阵形式(再次强调,矩阵 $\vec A$ 与基底的选取有关,不同的基底对应不同的变化矩阵), $\vec x \in U$ , $\vec b \in V$ .我们把所有满足条件的 $\vec b$ 构成的集合称作线性变换的像 (Image), 记作 $\image(\vec T)$ .

定义 2.2

设 $\vec T : U \rightarrow V$ 为定义在线性空间 $U,V$ 之间的线性变换,我们定义 $\vec T$ 的像为

\image(\vec T) := \lbrace \vec y : \vec y = \vec T(\vec x), \vec x \in U , \vec y \in V \rbrace.

因此我们便可以把 $\image(\vec T)$ 当作是线性变换的“值域”.随后我们联想矩阵里面的另一个定义——核空间,我们知道矩阵 $\vec A$ 的核空间是所有满足 $\vec A \vec x = \vec 0$ 的解 $\vec x$ , 这一点是不是也很像函数的零点?因此我们同样可以定义线性变换的核 (Kernel)：

定义 2.3

设 $\vec T : U \rightarrow V$ 为定义在线性空间 $U,V$ 之间的线性变换,我们定义 $\vec T$ 的核为

\Ker(\vec T) := \lbrace \vec x: \vec T(\vec x) = \vec 0 , \vec x \in U \rbrace

我们已经知道 $\image(\vec T) \subset V; \Ker(\vec T) \subset U$ ,因此我们可以给出秩零定理的线性变换形式：

定理 2.4

对任意的线性变换 $\vec T : U \longrightarrow V$ , 有

\dim(\image(\vec T)) + \dim(\Ker(\vec T)) = \dim(U).

例题 2.6

在标准基底 $E$ 下, 设线性变换 $\vec{T} : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ 满足 $\vec T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y - z \\ x - y + z \\ -x + y + z \end{pmatrix},$ 据此分别求出 $\Ker(\vec T), \image(\vec T)$ .

解答 2.6

我们根据线性变换的定义,设 $E$ 为标准基底,那么我们有：

\vec T \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 - 0 \\ 1 - 0 + 0 \\ -1 + 0 + 0 \end{pmatrix} ; \vec T \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 - 0 \\ 0 - 1 + 0 \\ -0 + 1 + 0 \end{pmatrix} ; \vec T \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 0 - 1 \\ 0 - 0 + 1 \\ -0 + 0 + 1 \end{pmatrix} .

因此我们可以得到线性变换 $\vec T$ 在标准基底 $E$ 下所对应的变化矩阵 $\vec A$ :

\vec A = \left(\begin{array}{|||} \\ \vec T(\vec e_1) & \vec T(\vec e_2) & \vec T(\vec e_3) \\ \end{array}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

因此我们只需要研究 $\image(\vec A), \Ker(\vec A)$ 即可. 我们首先可以研究线性齐次方程组 $\vec A\vec x = \vec 0$ 从而求解 $\Ker(\vec A)$ .不难得出此时 $\vec A$ 的增广矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$ , 通过高斯消元我们最后得到 $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$ , 因此我们得到 $\rank(\vec A) = 3$ , 根据秩零定理, 我们可以直接得到 $\image(\vec A) = \mathbb{R}^3 ; \Ker(\vec A) = \lbrace \vec 0 \rbrace$ .因此在原线性变换 $\vec T$ 中,我们得到 $\image(\vec T) = \mathbb{R}^3 ; \Ker(\vec T) = \lbrace \vec 0 \rbrace$ .

那么对于任意的线性变换 $\vec T$ 而言,我们是否必须通过Gauss消元的方法,从而才能求出线性变换的核空间与像空间呢?我们先引出几条定义：

定义 2.4

设 $\vec T : U \rightarrow V$ 为定义在线性空间 $U,V$ 之间的线性变换.

(i) 若对于任意的 $\vec x , \vec y \in U$ , $\vec T(\vec x) = \vec T(\vec y)$ 的充要条件是 $\vec x = \vec y$ , 我们称 $\vec T$ 为单射 (Injective).

(ii) 若对于任意的 $\vec y \in V$ , 都存在 $\vec x \in U$ , 使得 $\vec y = \vec T(\vec x)$ , 我们称 $\vec T$ 为满射 (Surjective).

(iii) 若 $\vec T$ 既为单射,也为满射, 我们称 $\vec T$ 为双射 (Bijective).

例题 2.7

在例2.6中, 线性变换 $\vec T$ 为定义2.4中的哪种类型?

解答 2.7

我们先判断 $\vec T$ 是否为单射：根据我们最终的结论, $\rank(\vec A) = 3$ , $\vec T$ 为满秩. 因此矩阵 $\vec A$ 中的列向量(为简化符号,我们记作 $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ )彼此线性无关,我们此时设 $\vec x , \vec y$ 的坐标分别为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\y_3 \end{pmatrix}$ , 那么我们不妨设 $\vec T(\vec x) = \vec T(\vec y)$ , 于是便可以得到这样的线性方程组：

x_1 \vec v_1 + x_2 \vec v_2 + x_3 \vec v_3 = y_1 \vec v_1 + y_2 \vec v_2 + y_3 \vec v_3

整理得

(x_1 - y_1)\vec v_1 + (x_2 - y_2) \vec v_2 + (x_3 - y_3) \vec v_3 = 0

根据线性无关的定义,我们知道 $x_1 - y_1 = 0 ; x_2 - y_2 = 0 ; x_3 - y_3 = 0$ , 即 $x_1 = y_1 ; x_2 = y_2 ; x_3 = y_3$ , 则 $\vec x = \vec y$ . 同理我们还可以设 $\vec x = \vec y$ , 然后根据线性变换的定义可以得出 $\vec T(\vec x) = \vec T(\vec y)$ , 因此 $\vec T$ 为单射.

随后我们判断 $\vec T$ 是否为满射,我们已经知道 $\Span \lbrace \vec v_1 , \vec v_2 , \vec v_3 \rbrace = \mathbb{R}^3$ , 那么对于任意的 $\vec y \in \mathbb{R}^3$ , 我们均可以找到与之对应的 $\vec x$ , 使得 $\vec y = \vec A \vec x$ , 因此 $\vec T$ 同样为满射. 由此我们得出 $\vec T$ 为双射.

那么我们是否有更快速的方法来判断一个线性变换所对应的种类呢?我们来看下面的定理：

定理 2.5

对任意的线性变换 $\vec T : U \longrightarrow V$ :

① $\vec T$ 为单射的充要条件是 $\ker(\vec T) = \{\vec 0\}$ ;

② $\vec T$ 为满射的充要条件是 $\rank(\vec T) = \dim(V)$

证明

( $\Longrightarrow$ ) 我们假设 $\vec T$ 为单射, 那么 $\vec x = \vec y$ 可推出 $\vec T(\vec x) = \vec T(\vec y)$ , 那么 $\vec T(\vec x-\vec y)=\vec 0$ , 即 $\vec x-\vec y = \vec 0 \in \ker(\vec T)$ . 反过来, 若 $\ker(\vec T) = \{ \vec 0\}$ , 那么假设 $\vec x = \vec y$ , 不难发现 $\vec T(\vec x-\vec y) = \vec 0, \vec T(\vec x) = \vec T(\vec y).$

( $\Longrightarrow$ ) 我们假设 $\vec T$ 为满射,根据定义我们有 $\image(\vec T) = V$ , 即 $\dim(\image(T)) = \rank(\vec T) = \dim(V)$ ; ( $\Longleftarrow$ ) 我们假设 $\rank(\vec T) = \dim(V)$ , 则 $\dim(\image(\vec T)) = \rank(\vec T) = \dim(V)$ , 则 $\image(\vec T) = V$ , 因此 $\vec T$ 为满射.

∎

定理 2.6

对任意的线性变换 $\vec T : U \longrightarrow V$ , 设 $\vec A$ 是变换 $\vec T$ 的矩阵形式,则下列说法是等价的:

① $\vec T$ 为单射;

② $\ker(\vec T) = \{\vec 0\}$ ;

③ 矩阵 $\vec A$ 满秩;

④ 矩阵 $\vec A$ 的列向量彼此线性无关.

另外, 我们能否从集合元素关系的角度去审视线性变换中的单射与满射?对于一个函数 $f : X \longrightarrow Y$ 而言, 我们有如下的定义:

定义 2.5

设 $f : X \longrightarrow Y$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数, $X,Y \subset \mathbb{R}$ .

① 如果对于任意的 $x_1 , x_2 \in X$ 而言, $f(x_1) = f(x_2)$ 的充要条件是 $x_1=x_2$ , 我们称 $f$ 为单射 (Injective);

② 如果对于任意的 $y \in Y$ 而言, 都存在 $x \in X$ , 使得 $y = f(x)$ 我们称 $f$ 为满射 (Surjective);

③ 如果 $\vec T$ 既为单射,也为满射,我们称 $f$ 为双射 (Bijective).

因此我们不难发现对于函数而言,单射与满射同样存在.如果定义 $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ , 那么我们熟知的函数 $y = x$ ,函数 $y = x^3$ ;对数函数 $y = \ln(x)$ 便都是双射函数（ $(0,\infty)$ 上的双射）（读者可以自行验证）. 如果 $f : X \longrightarrow Y$ 为单射函数,那么我们知道集合 $X$ 与 $Y$ 中的元素应该存在一一对应的关系,也就是说 $Y$ 中的元素应该足够多,使得每一个 $x \in X$ 都可以有不同的 $y \in Y$ 与之对应.也就是说最起码要保证 $\vert X \vert \leq \vert Y \vert$ , 否则根据抽屉原理我们知道会有最少两个 $X$ 中的不同元素与 $Y$ 中的一个元素对应,从而不满足单射的性质；如果 $f : X \longrightarrow Y$ 为满射, 那么 $Y$ 中的所有元素均要有与之相对应的元素.根据函数的定义,对于给定的 $x \in X$ 而言,有且仅有一个 $y \in Y$ 使得 $f(x) = y$ , 也就是说 $X$ 中的元素要足够多,使得每一个 $y \in Y$ 都有不同的 $x \in X$ 与之对应,这样就意味着最起码要保证 $\vert Y \vert \leq \vert X \vert$ .

根据上述推理,我们知道了若 $f : X \longrightarrow Y$ 为单射,那么不可能会有 $\vert X \vert \geq \vert Y \vert$ ; 若 $f : X \longrightarrow Y$ 为满射,那么不可能会有 $\vert Y \vert \geq \vert X \vert$ .若 $f : X \longrightarrow Y$ 为双射,那么 $\vert Y \vert = \vert X \vert$ . 那么该结论对于线性变换而言是否成立?答案是肯定的, 但我们要进行一定程度的修改.在线性空间里面,有什么性质可以与集合的元素个数类比?答案便是线性空间的维数.维数也可以看作基底向量的个数,所以我们由此便可以得出一条重要定理:

定理 2.7

设 $\vec T : U \rightarrow V$ 为定义在线性空间 $U,V$ 之间的线性变换.

① 若 $\dim(U) > \dim(V)$ , 则 $\vec T$ 不可能为单射;

② 若 $\dim(U) < \dim(V)$ , 则 $\vec T$ 不可能为满射;

③ 若 $\dim(U) = \dim(V)$ , 则 $\vec T$ 为单射的充要条件是 $\vec T$ 为满射.

因此,定理 $2.7$ 也是很多时候快速判断某个线性变换种类的一条重要依据. 其中, 当 $U , V$ 维数相同时,我们只需要证明出该变换为单射便可以自然推出该变换为满射,反之亦然. 我们把这种双射变换称作是同构 (Isomorphism), 一般读作 $U$ 同构于 $V$ , 写作 $U \simeq V$ .同构的定义如下:

定义 2.6

设 $U,V$ 为线性空间. 如果存在线性变换 $\vec T : U \longrightarrow V$ , 使得 $\vec T$ 为双射, 我们则称 $U$ 同构于 $V$ , 记作 $U \simeq V$ .

同构在满足双射线性变换的同时也是代数结构里面的一个等价关系（Equivalence Relation), 即同构还满足以下三条性质:

① 自反性 (Reflexive) : 即任何线性空间 $V$ 同构于自身, 有 $V \simeq V$ .

② 对称性（Symmetric) : 即 $U \simeq V$ 可以推出 $V \simeq U$ .

③ 传递性 (Transitive) : 即 $U \simeq V , V \simeq \mathcal{W}$ 可以推出 $U \simeq \mathcal{W}$ .

对于第一条自反性而言,我们很好证明: 选取最特殊的线性变换 $\vec T : V \longrightarrow V$ , 满足 $\vec T(\vec x) = \vec x$ . 形如这样的变换我们也称作单位变换 (Identity Transformation), 通常用 $\vec I_d$ 表示. 随后我们不难证明 $\vec T$ 是一个双射线性变换, 由此 $V \simeq V$ . 对于第二条和第三条而言,我们目前还没有解决的好办法,但完成本章的学习之后我们便可以进行第二,三条的证明. 其中第二条便是线性变换的逆变换,与逆矩阵关联密切; 第三条便是线性变换的复合,与矩阵的乘法关联密切.

同构好比几何学里面的相似三角形,我们知道两个三角形如果相似,那么它们的对边成相同比例,对角相等.对于同构而言,如果 $U \simeq V$ , 那么线性空间 $U,V$ 之间也有对应的“相似”关系.简单来说,二者的代数内核是一致的,只不过用了不同的表现方式.我们前面看到的基底之间的变换就是一种同构：它们都是同一个向量在不同基底下的表现形式；我们因此可以将同构理解为同一个“向量”在不同线性空间下的表现形式.线性变换便是在不同的基底,线性空间之间转化的媒介.

{2.2 练习}

1. 考虑集合 $A = \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace ; B = \lbrace 5,6,7,8 \rbrace$ , 那么在所有映射 $f : A \longrightarrow B$ 中,有多少个单射?有多少个满射?有多少个双射?

2. 设非零线性变换 $\vec T : \mathbb{R}^{2024} \longrightarrow \mathbb{R}^{2022}$ , 若 $\vec T$ 不是满射,则 $\rank(\vec T)$ 的可能取值为 ( )

3. 设线性变换 $\vec T : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ , 满足 $\vec T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + kz \\ ky + z \\ x - y \end{pmatrix} , k \in \mathbb{R}$ .若 $\vec T$ 为单射, $k$ 的取值范围是什么?若 $\vec T$ 为双射, $k$ 的取值范围是什么?若 $\vec T$ 为满射, $k$ 的取值范围是什么?

4. 设线性空间 $V$ 的维数为 $n$ ,证明： $V \simeq \mathbb{R}^n$ .

5. 设 $V_1,V_2,\cdots,V_n (n \geq 2)$ 为定义在同一数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,我们定义线性变换 $\vec T_i : V_i \longrightarrow V_{i+1}$ ,( $1 \leq i \leq n-1$ ),使得这些线性变换满足以下的性质：

$\begin{cases} \Ker(\vec T_1) = \lbrace \vec 0 \rbrace \\ \Ker(\vec T_{i+1}) = \image(T_i), 1 \leq i \leq n-2 \\ \image(\vec T_{n-1}) = V_n \end{cases}$

证明 : $\displaystyle{\sum_{i=1}^n (-1)^i \dim(V_i) = 0}$ .