5.1 广义特征向量

在关于矩阵对角化的学习中, 我们知道若 $\vec A$ 可对角化, 那么便存在可逆矩阵 $\vec Q$ 与对角矩阵 $\vec P$ , 使得 $\vec A=\vec Q\vec P\vec Q^{-1}$ . 从线性变换的角度来讲, 我们可以找出一组基底 $\beta$ , 使得线性变换 $\vec T$ 在该基底下的矩阵形式为 $[\vec T]_{\beta} = \vec P$ . 我们本章的目标便是找出满足条件的基底, 使得线性变换在该基底下的矩阵形式十分简便. 不难发现前面我们提到的对角化便是满足条件的一种变换. 但是当矩阵无法对角化的时候我们能否也构造出相似的结构呢?

回顾矩阵对角化的知识: 矩阵对角化的充要条件为对于任何的特征值 $\lambda_i$ , 其代数重数等于其几何重数. 由于 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ 的特征多项式 $C_{\vec A}(x)$ 为 $n$ 次多项式, 那么根据代数基本定理, $C_{\vec A}(x)$ 存在 $n$ 个复数根(可能重复). 所以我们也说 $\vec A$ 的所有特征值的代数重数之和恒为 $n$ . 又因为任何特征值的几何重数小于代数重数, 那么矩阵 $\vec A$ 不可对角化即对应了存在几何重数小于代数重数的特征值. 我们把这样的特征值称作缺陷特征值 (Defective Eigenvalues).

定义 5.1

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ 为一代数重数为 $m$ 的特征值. 若 $\dim(\Ker(\vec A-\lambda \vec I)) < m$ (即其几何重数小于其代数重数), 我们则称 $\lambda$ 为一缺陷特征值. 在此情况下, 我们定义特征值 $\lambda$ 的缺陷为 $d_{\lambda} := m - \dim(\Ker(\vec A- \lambda\vec I))$ .

例题 5.1

设 $\vec A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . 判断 $\vec A$ 是否有缺陷特征值.

解答 5.1

不难发现, $\vec A$ 的特征多项式为 $C_{\vec A}(x) = x^3(x+1)$ . 因此 $\vec A$ 有两个特征值. $\lambda_1 = 0$ 的代数重数为 $3$ ; $\lambda_2=-1$ 的代数重数为 $1$ . 对于 $\lambda_1=-1$ 而言,

\Ker(\vec A-0\vec I) = \Ker\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

因此 $\dim(\Ker(\vec A - \lambda_1\vec I))=1<3$ , 则 $\lambda_1=0$ 为缺陷特征值, 其缺陷为 $2$ . 而对于 $\lambda_2=-1$ 而言, 其代数重数为 $1$ , 因此其几何重数只能为 $1$ . 因此 $\lambda_2=-1$ 不是缺陷特征值.

当我们提出缺陷特征值的定义后, 我们给出广义特征向量 (Generalized Eigenvectors)的定义.

定义 5.2

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ 为一代数重数为 $m$ 的特征值. 若非零向量 $\vec u \in \mathbb{R}^n$ 和常数 $k\geq 1$ 满足 $(\vec A - \lambda \vec I)^k \vec u = \vec 0$ , 且 $(\vec A-\lambda\vec I)^{k-1}\vec u \neq \vec 0$ , 我们则称 $\vec u$ 为 $\vec A$ 关于 $\lambda$ 的 $k$ 阶广义特征向量, $\Ker((\vec A-\lambda\vec I)^k)$ 为广义特征空间.

显然, 特征向量本身也为广义特征向量. 如果 $(\vec A-\lambda\vec I)\vec u=\vec 0$ , 那么对任意的 $k \geq 1$ , $(\vec A-\lambda\vec I)^k \vec u = \vec 0$ , 即

\Ker(\vec A - \lambda\vec I) \subset \Ker((\vec A-\lambda\vec I)^k).

定义 5.3

设 $\vec A\in M_n(\mathbb{R})$ , 特征值 $\lambda$ 的代数重数为 $m$ . 若向量组 $\{\vec v_1,\cdots,\vec v_m\}$ 满足 $(\vec A-\lambda\vec I)\vec v_1=\vec 0$ , 且 $(\vec A-\lambda\vec I)\vec v_j = \vec v_{j-1}, \quad j=2,\cdots,m$ . 我们则称 $\{ \vec v_1,\cdots,\vec v_m\}$ 为一条关于特征值 $\lambda$ 的广义特征向量链.

由此可见，广义特征向量不仅可以补足普通特征向量的不足，而且可以按照链式关系排列起来. 这些链式结构将在下一节自然地导出 Jordan 块与 Jordan 标准形。

定理 5.1

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ 为一代数重数为 $m\geq 1$ 的特征值. 则

\dim(\Ker(\vec A-\lambda\vec I)^m) = m.

因此定理 $5.1$ 告诉我们任何一个代数重数为 $m$ 的特征值均可以找到 $m$ 个彼此线性无关的广义特征向量. 又因为所有特征值的代数重数之和为 $n$ , 这也就告诉我们我们可以找出一组由 $\vec A$ 的广义特征向量所构成的 $\mathbb{R}^n$ 的一组基底. 那么我们该如何去构建这 $n$ 个广义特征向量呢? 对于代数重数为 $m$ 的特征值 $\lambda$ , 我们设

K_j = \Ker(\vec A-\lambda\vec I)^j, \quad j=1,\cdots,m.

参照广义特征向量链, 我们不妨设 $\vec v_1 \in K_1 = \Ker(\vec A-\lambda\vec I)$ , $\vec v_j \in K_j$ , 那么 $(\vec A-\lambda\vec I)^j \vec v_j = \vec 0$ . 令 $\vec v_{j-1} = (\vec A-\lambda\vec I)\vec v_j$ ; $(\vec A-\lambda\vec I)^{j-1}\vec v_{j-1} = (\vec A-\lambda\vec I)^j \vec v_j = \vec 0,$ 即 $\vec v_{j-1} \in \Ker(\vec A-\lambda\vec I)^{j-1}$ . 同时

(\vec A-\lambda\vec I)^j\vec v_{j-1} = (\vec A-\lambda\vec I)(\vec A-\lambda\vec I)^{j-1}\vec v_{j-1}=\vec 0,

那么 $\vec v_{j-1} \in K_j$ . 由此我们知道 $K_{j-1} \subset K_j$ . 那么我们便有

\{\vec 0 \} \subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_m.

推论 5.1

设 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ , $\lambda$ 为一代数重数为 $m\geq 1$ 的特征值. 若存在 $j\in\{0,1,\cdots,m-1\}$ , 使得 $K_j=K_{j+1}$ , 则 $K_j = K_{j+1}=\cdots=K_m$ .

证明

假设 $K_j = K_{j+1}$ . 由于我们已经知道 $K_{j+1} \subset K_{j+2}$ , 因此我们只需要证明 $K_{j+2} \subset K_{j+1}$ . 设 $\vec u \in K_{j+2}$ , 则 $(\vec A-\lambda\vec I)^{j+2}\vec u = 0$ , 即

(\vec A-\lambda\vec I)\cdot(\vec A-\lambda\vec I)^{j+1}\vec u = \vec 0, \vec w = (\vec A-\lambda\vec I)\vec u \in\Ker(\vec A-\lambda\vec I)^{j+1} := \Ker(\vec A - \lambda\vec I)^j.

因此

(\vec A-\lambda\vec I)^{j+1}\vec u = (\vec A-\lambda\vec I)^j\vec v = \vec 0.

∎

因此通过关系式 $K_1 \subset K_2 \subset \cdots$ , 我们首先可以求出 $\vec v_1 \in K_1$ , 随后求出 $\vec v_2 \in K_2 \setminus K_1$ , $\vec v_3 \in K_3 \setminus K_2$ , 然后依次类推. 通过这样我们便可以最终得到 $m$ 个彼此线性无关的广义特征向量.

假设 $\vec v_{i} \in K_{i} \setminus K_{i-1}$ , 那么不难发现 $(\vec A-\lambda\vec I)^{i}\vec v_{i} =\vec 0, (\vec A-\lambda\vec I)^{i-1} \vec v_{i-1} \neq \vec 0.$ 不妨设 $\vec v_{i-1} := (\vec A-\lambda\vec I)\vec v_i$ . 则 $(\vec A-\lambda\vec I)^i\vec v_{i-1} = \vec 0.$ 即 $\vec v_{i-1} \in K_i$ , 且 $(\vec A-\lambda\vec I)^{i-1}\vec v_{i-1} \neq \vec 0$ . 由于 $\vec v_i \notin K_i$ , 那么 $\vec v_{i-1} \notin K_{i-1}$ . 因此 $\vec v_{i-1} \in K_i \setminus K_{i-1}$ . 所以当我们已知 $\vec v_{i-1}$ 而要求解 $\vec v_i$ 时, 我们只需要求出所有满足 $\vec v_{i-1} = (\vec A-\lambda\vec I)\vec v_i$ 的解.

例题 5.2

在例题 $5.1$ 中, 求出 $\vec A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 中缺陷特征值的广义特征向量.

解答 5.2

我们已经知道 $\lambda_1=0$ 为缺陷特征值, 且缺陷为 $2$ . 我们同时还知道

\Ker(\vec A-0\vec I) = \Ker\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \Span\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

那么我们将由此构建出两个广义特征向量. 设 $\vec u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ , 根据公式第一个广义特征向量 $\vec u_2 = \begin{pmatrix} a & b & c & d \end{pmatrix}^\top$ 满足

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} a \\b\\c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

第三个广义特征向量 $\vec u_3 = \begin{pmatrix} a & b & c & d \end{pmatrix}^\top$ 满足

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} a \\b\\c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}.

那么由此一来, 我们是不是就可以构建出一组由广义特征向量构成的基底呢? 我们此时结合特征值 $\lambda_2=-1$ 的特征向量:

\Ker(\vec A+\vec I) = \Ker\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\Span\begin{pmatrix} 1 \\-2\\1\\1\end{pmatrix}.

所以我们便可以得到由 $\vec A$ 的广义特征向量构成的基底 $\beta$ :

\beta = \left\{ \vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec v_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \right\}.

我们此时考虑线性变换 $\vec T:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ 在此基底 $\beta$ 下的矩阵形式 $[\vec T]_{\beta}$ . 根据定义我们有

[\vec T]_{\beta} = \begin{pmatrix} [\vec T\vec v_1 ]_{\beta} & [\vec T\vec v_2 ]_{\beta} & [\vec T\vec v_3]_{\beta} & [\vec T\vec v_4 ]_{\beta} \end{pmatrix},

其中 $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ 为特征值 $\lambda_1=0$ 对应的广义特征向量. 根据我们前面的推论,

(\vec T - 0\vec I)\vec v_1 = \vec 0, \quad (\vec T-0\vec I)\vec v_2=\vec v_1, \quad (\vec T-0\vec I)\vec v_3=\vec v_2.

最后再结合特征值 $\lambda_2=-1$ , $\vec T \vec v_4 = \lambda_2\vec v_4=-\vec v_4$ . 因此我们得到

[\vec T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

通过下一节的学习, 同学们将对 $[\vec T]_{\beta}$ 产生更加深刻地理解.

定义 5.4

设线性变换 $\vec T: V \to V$ . 若存在 $m \geq 1$ 使得对任意的 $\vec v\in V$ , $\vec T^m\vec v=\vec 0$ , 那么我们称 $\vec T$ 为幂零变换 (Nilpotent). 与其对应的矩阵被称为幂零矩阵. 满足条件的最小正整数 $m$ 被称作是 $\vec T$ (或 $\vec A$ )的幂零指数.

幂零变换的一个基本性质是，它自然地产生线性无关的向量链。

推论 5.2

设线性变换 $\vec T: V \to V, \dim(V)=n$ ，且存在 $\vec v\in V$ 与正整数 $m$ 使得 $\vec T^m \vec v=\vec 0$ , $\vec T^{m-1}\vec v\neq \vec 0$ (即 $\vec T$ 为指数为 $m$ 的幂零变换), 则向量组 $\{\vec v,\vec T\vec v,\vec T^2\vec v,\dots,\vec T^{m-1}\vec v\}$ 线性无关.

证明

设存在 $c_1,\cdots,c_n \in \mathbb{R}$ , 使得

c_1\vec v+c_2\vec T\vec v+\cdots+c_m\vec T^{m-1}\vec v = \vec 0.

对等式两边同时作用线性变换 $\vec T^{m-1}$ , 结合 $\vec T^m \vec v = \vec 0, \forall n\geq m$ 和线性变换的性质, 我们得到

c_1\vec T^{m-1}\vec v = \vec 0,

即 $c_1=0$ . 重复这个过程, 对等式两边同时作用 $\vec T^{m-2}, \vec T^{m-3},\cdots$ , 不难得到 $c_1=\cdots=c_m=0$ .

∎

现在我们将这一结论应用到广义特征向量. 设 $\lambda$ 为矩阵 $\vec A$ 的代数重数为 $m$ 的特征值, 并令 $\vec N=\vec A-\lambda \vec I.$ 若 $\vec u$ 是关于 $\lambda$ 的 $m$ 阶广义特征向量, 即 $(\vec A-\lambda \vec I)^m \vec u=\vec 0,\quad (\vec A-\lambda \vec I)^{m-1}\vec u\neq \vec0,$ 则由前面的命题可知， $\{ \vec u,\vec N\vec u,\vec N^2\vec u,\dots,\vec N^{m-1}\vec u\}$ 线性无关. 若将上面的向量的顺序反过来, 记

\vec v_1=\vec N^{m-1}\vec u, \vec v_2=\vec N^{m-2}\vec u,\cdots,\vec v_m=\vec u,

我们则有 $\vec N\vec v_1=\vec 0$ , 并且 $\vec N\vec v_j=\vec v_{j-1},\quad j=2,\dots,m.$ 由此一来,我们便可以得到一条广义特征向量链. 即

(\vec A-\lambda \vec I)\vec v_j=\vec v_{j-1},\quad j=2,\dots,m.

因此,广义特征向量并不是孤立出现的,而是可以排列成链:

\vec v_m\mapsto \vec v_{m-1}\mapsto\cdots\mapsto \vec v_2\mapsto \vec v_1\mapsto \vec 0,

而这种链式结构正是下一节 Jordan 块的来源.

{5.1 练习}

1. 设 $\vec A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . 判断 $\vec A$ 是否存在缺陷特征值. 如果存在, 求出 $\mathbb{R}^3$ 的一组由 $\vec A$ 的缺陷特征值构成的基底 $\beta$ , 并求 $[\vec T]_{\beta}$ .

2. 设 $\vec A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . 判断 $\vec A$ 是否存在缺陷特征值. 如果存在, 求出 $\mathbb{R}^4$ 的一组由 $\vec A$ 的缺陷特征值构成的基底 $\beta$ , 并求 $[\vec T]_{\beta}$ .

3. 设矩阵 $\vec A \in M_n(\mathbb{R})$ , 为幂零矩阵, 证明 $\vec A$ 的特征多项式为 $C_{\vec A}(x) = (-1)^nx^n$ , 即幂零变换的特征值恒为 $0$ .